NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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PUISSANCE & RACINES

 

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RACINES CONTINUES

 

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Racines carrées

 

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Racine

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Racines continues – Formules

Zéro

Ramanujan

 

Sommaire de cette page

>>> Racine continue de  3

>>> FORMULE de Ramanujan

>>> Valeur de Pi

 

 

 

RACINES CONTINUES de RAMANUJAN

Radicaux imbriqués ou emboîtés

 

On peut écrire les nombres entiers sous la forme d'une suite de radicaux sans fin. Un célèbre mathématicien Indien du début du siècle Ramanujan a donné la formule générale.

 

Anglais: Nested radical / Nested square roots / Continued roots

 

  

Racine continu de 3

 

Notation

 

 

 

En résumé

 

Calcul

 

Convergence

Après 12 itérations: écart = 0, 002 7

 

 

 

 

FORMULE de Ramanujan

 

Formule

 

 

Autre formulation

 

Théorème

 

 

   Tout nombre entier N est exprimable sous forme d'une racine continue de plusieurs façons selon la formule de Ramanujan.

 

 

 

 

Exemple

 

Autres valeurs

 

x

n

a

N

Racine continue

0

1

0

1

= r1 + 0r1 + 1r1 + 2r …

1

1

0

  2

= r1 + 1r1 + 2r1 + 3r …

2

1

0

    3

= r1 + 2r1 + 3r1 + 4r …

3

1

0

      4

= r1 + 3r1 + 4r1 + 5r …

0

2

0

  2

= r4 + 0r4 + 2r4 + 4r …

1

2

0

    3

= r4 + 1r4 + 3r4 + 5r …

2

2

0

      4

= r4 + 2r4 + 4r4 + 6r …

3

2

0

         5

= r4 + 3r4 + 5r4 + 7r …

0

0

1

1

= r1 + 0r1 + 0r1 + 0r …

1

0

1

  2

= r2 + r2 + r2 + r …

2

0

1

    3

= r3 + 2r3 + 2r3 + 2r …

3

0

1

      4

= r4 + 3r4 + 3r4 + 3r …

0

1

1

  2

= r4 + 0r5 + 1r6 + 2r …

1

1

1

    3

= r5 + 1r6 + 2r7 + 3r …

2

1

1

      4

= r6 + 2r7 + 3r8 + 4r …

3

1

1

        5

= r7 + 3r8 + 4r9 + 5r …

 

 

 

 

 

 

Valeur de Pi avec racines continues

Avec k la quantité de radicaux.

 

Exemple de calcul avec k = 5

 

 

Une formule voisine avec 2k / 11 en tête et trois signes moins en queue

Voir Valeurs et formules pour Pi

 

 

 

 

Suite

*    Fractions continues

*   Racines continues – Formules

*    Ramanujan et 1729 – Nombre Taxicab

Voir

*    Fractions continues

*    Nombres rationnels …

*    Nombres périodiques

*    Suite de Farey et calendriers

DicoNombre

*    Nombre 3

Sites

*    Pi-Formulas and gray code – Pierluigi Vellucci and Alberto Maria Bersani

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Racinemb.htm