Nombres complexes, forme polaire

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Nombres complexes

Forme polaire

Approche

La forme polaire des nombres complexes rend plus facile une exploitation de tels nombres pour décrire des rotations ou des oscillations. Là, où la trigonométrie s'avère indispensable.

Un point est repéré par

sa distance appelé module et notée (Rhô)

l'angle que fait le segment Om avec l'axe des x; appelé argument et noté (Théta).

En notant que

a = cos

b = sin

un nombre complexe sous sa forme polaire s'écrit:

Modules sur le cercle unité

Tous les nombres complexes dont l'image est située sur le cercle de rayon unité ont un module unité.

Quelques valeurs typiques

Voir Exemple de calculs de modules / U le groupe des unités sur C / Morphisme

Propriétés

Module

Voir Inégalité triangulaire

Argument

Arg(z . z') = Arg(z) + Arg(z')

Arg(z / z') = Arg(z) – Arg(z')

Voir Angles

Conversion polaire / cartésien
Module Argument
Partie réelle Partie imaginaire	a = cos b = sin
u et v sont les vecteurs unitaires portés par les deux axes Valeurs des nombres complexes indiqués sur cette figure:

Exemples de conversions
1 + i	Notez l'astuce qui consiste à poser x = cos et y = sin, puis, à trouver leur valeur en les égalant avec la partie réelle et la partie imaginaire du nombre de départ.
3 + i3
3 + i3	Vérification: ce nombre est bien un multiple du premier nombre calculé (1 + i).