NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/11/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Calcul d'une puissance entière (grand nombre) >>> Puissance complexe d'un nombre >>> Puissance complexe d'un complexe >>> Puissance complexe avec trigonométrie >>> Exemple de calcul >>> Puissance complexe avec exponentielle

PUISSANCE COMPLEXE

d'un nombre

Généralement l'élévation à la puissance est à base d'entiers, voire de fractionnaires. Peut-on imaginer élever un nombre à une puissance complexe, voire un nombre complexe à une puissance complexe ? …

Comme pour les réels: z⁰ = 1 >>>

Calcul d'une puissance entière – Grand nombre

Voir Cercle trigonométrique

Puissance complexe d'un nombre
Quelle est la valeur de => La réponse n'est pas simple.
La somme des exposants témoignent d'un produit.
Conversion sous forme exponentielle.
Passage à la forme trigonométrique pour la partie imaginaire.
Et pour la partie réelle avec les fonctions hyperboliques. Notez bien l'absence de i.	)
Forme classique en conservant la partie réelle sous forme de puissance

Exemple avec n = 2
Quelques exemples
Cas d'un imaginaire (a = 0)	1^i = 1 Calcul Rappel ln(1 ) = 0 1^i b = 1 Calcul 2^i = 0,7692389014 + i x 0.6389612763 3^i = 0,1834569747 + i x 0,9830277404

Puissance complexe d'un complexe
Quelle est la valeur de => La réponse n'est pas simple du tout!
La somme des exposants témoignent d'un produit.
Conversion sous forme exponentielle.
Passage à la forme trigonométrique (hyperbolique).
Exemple avec n = m = a = b = 2	ln(2+2i) = 1,0397… + 0,78539… i k = 0, 5086… + 3,6502 …i N = –1,453… – 0,81141… i

Puissance complexe avec trigonométrie

Voir identités trigonométriques

Attention pour puristes.

Ces formules ne tiennent pas compte du fait que les réponses ne sont pas uniques.

Prenons z^a = exp (a ln z)

si a est un entier z^a est bien défini;

si a est un rationnel z^a a une infinité de solutions;

si a est un imaginaire pur z^a est réel, mais pas bien défini;

Exemple de calcul

Puissance complexe avec exponentielle
Forme générale	Voir Argument d'un complexe
Cas particulier	= 0,2739572535… + i x 0,5837007586… = (1 + i)^1 (1 + i)^i = (1 + i)^i + i (1 + i)^i
Spécifique	Voir Puissance de l'imaginaire = réel

Suite	Racines Nombres complexes – Index
Voir	Constantes Construction de l'heptagone Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres d'Eisenstein Nombres périodiques Nombres réels Puissances et racines – Index
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