Nombres complexes, racine

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		Exemples de calcul de racines
		Sommaire de cette page >>> Racine carrée avec un exemple >>> Racines avec De Moivre >>> Exemples de calculs en polaire >>> Calcul développé avec le même exemple >>> Tables des racines carrées de complexes

Nombres complexes

RACINES

La forme polaire se prête aisément au calcul de la racine nième d'un nombre complexe.

Racine de ???

Racine carrée de i – Calcul
Prenons	(a + ib)²	= i
En développant	a² – b² + iab	= i
En égalant réels et imaginaires	a² – b² 2iab	= 0 = i
Conclusions	a 2a²	= b = 1
Valeur de a et b	a = b
Valeur de racine de i		= i
À noter	(1 + i) ²	= 2i

Racine carrée
Calculez:		= ?
Forme générique:		= a + ib
Au carré:	3 + 4i	= a² – b² + 2iab
En égalisant partie réelle et partie imaginaire:	3 4	= a² – b² = 2ab
Valeur de b:	b	= 2/a
Expression en a:	3	= a² – 4/a²
Équation:	3a²	= a⁴ – 4
Avec A = a²	0	= A² + 3A – 4
Racine évidente:	A₁	= 1
Factorisation:	0	= (A – 1) (A + 4)
Seconde racine:	A₂	= 4
Soit les quatre valeurs possibles pour a:	a	= {1, –1, 2, –2}
Valeurs correspondantes pour b:	b	= {2, –2, 1, –1}
Les solutions possibles:		= 1 + 2 i = –1 – 2i = 2 + i = –2 – i
Validation par le carré.	(1 + 2i)² (–1 – 2i)² (2 + i)² (–2 – i)²	= 1 – 4 + 4i = –3 +4i = 1 – 4 + 4i = –3 +4i = 4 – 1 + 4i = 3 + 4i = 4 – 1 + 4i = 3 + 4i
Élimination des artefacts du fait de l'élévation au carré.		= 2 + i ou = –2 – i

Bilan

Nous avons de la chance avec cet exemple car l'équation du second degré est facile à résoudre. Le calcul en polaire évite ce souci, mais implique une bonne connaissance de la trigonométrie. Voici la théorie, puis nous reprendrons la résolution du même exemple.

Racines avec De Moivre
Un nombre complexe sous sa forme cartésienne et sous sa forme polaire.	z = a + i .b
Formule de De Moivre	Autre écriture:

Racine nième d'un nombre complexe; c'est, en fait, la puissance 1/n.

Soit, autant de racines que de valeurs de k, un nombre entier.

En résumé

le module de la racine nième

est la racine du module initial.

l'argument de la racine nième

est l'argument initial divisé par n.

Illustration (valeurs numériques de l'exemple)

Le point M' est l'image de la racine du nombre complexe représenté par M. Le module (r) et l'argument (A) sont calculés ci-dessous)

Notez bien La tangente de A est 4/3 et cette de A/2 est ½, pas du tout dans le rapport des angles ( ½).

Exemples de calculs en polaire

Calcul de racine développé en polaire
Racine en polaire
Calculez:		= ?
Forme polaire: module	r
		= = 2,236…
Argument (angle)	A	= arctan(4/3) = 0,927… rad = 53,13…°
	A/2	= 0,463… rad = 26,56…° Note: la tangente de cet angle en radians est 1/2.
Racine en polaire:
Forme numérique:
Passage à forme classique (cartésienne) en a + ib.
Module	t	a² + b² = 5
Argument	B	= b / a = 1/2 a = 2b
Expression en b		4b²+ b² = 5 b = 1 ou –1
et en a		a = 2 ou –2
Soit la forme classique de la racine:		= 2 + i ou = –2 – i