NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/07/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Le problème de la chèvre

dans un champ rectangulaire

La chèvre est dans un champ en forme de rectangle.

On se demande quelle est la longueur de la corde (longe) de sorte que la chèvre peut brouter exactement la moitié du champ.

Chèvre dans le rectangle – Présentation
Énigme Le champ est de forme rectangulaire et la longe est attachée à un pieu situé au milieu de la largueur. Quelle la longueur R de la corde pour que la chèvre soit en capacité de brouter exactement la moitié du champ ?
La figure annotée Aire boutée = Aire des deux triangles rectangles AR + Aire du secteur AS = 2 x (jaune + ocre) Quelle est la valeur de L pour que la chèvre brouet la moitié du rectangle ?
Un exemple de résolution On donne la largeur égale à 6, soit a = 3 et la longueur de la longe R = 5 On en déduit la longueur du troisième côté du triangle rectangle: b = 4.	Avec ces données, la longueur de du champ est 9,36, alors la chèvre broute la moitié du champ. Les surfaces en jaune sont égales.

Chèvre dans champ rectangulaire – Résolution
	Littéral	Exemple numérique
Aire des deux triangles rectangles		a = 3 R = 5 => b = 4 AT = 12
Aire du secteur complet		= 36,87 °
Aire à brouter complète
Aire à brouter = 1/2 du champ
Formule finale

Le champ est donné, calcul de R
Solutions ?	Pas de solution analytique ! Impossible de calculer R en connaissant les dimensions du champ L et 2a. Avec la condition donnée, moitié du champ, la longe doit être assez longue pour atteindre, en gros, la demi-longueur du champ. La solution consiste à faire un abaque donnant L pour différentes valeurs de R et a. Ci-dessous un tableau suivi des courbes.
Tableaux de valeurs La valeur 0 indique que ces cas sont impossibles. En rouge, l'exemple numérique traité ci-dessus.

Abaque

Utilisation de GeoGebra
GDC: graphic display calculator On peut aussi utiliser une calculette avec résolution graphique d'équations (GDC). Cette fonction est aussi disponible avec GeoGebra en ligne. Exemple de traitement avec l'exemple numérique de cette page =>
Vérification graphique de la formule Cas de a = 10 et R = 10 donnant les aires maximales. Alors L = 15,708. D'ailleurs dans ce cas, on calcule bien: Sur cette figure avec un contour dessiné à la main, les aires sont très voisines: 9,13 et 9,01; moyenne 9,07. En prenant l'angle (38,24°) et l'ordonnée du point H (6,19), on calcule les deux aires par différences. Elles valent: 9,06514528… (évaluation numérique de la formule ci-contre)	Chaque aire colorée vaut:

Merci à Jacky P. pour l'idée de cette page

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Site	La chèvre de Monsieur Poincaré – Serge Mehl Goat Problem – Wikipedia Goat Problem – Wolfram MathWorld OEIS A133731 – Decimal expansion of goat tether length to graze half a unit field. Grazing Animals – Ask Dr. Math
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