NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/05/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Débutants Addition	PARTITION				Glossaire Addition
Rubrique PARTITION	Entiers & Carrés	Cubes		Puissances 4...n
	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange		Somme de n puissances Théorème de Waring
	1 à 100 en 4 carrés		Puissance = somme de puissances
	Sommes de cubes et autres puissances
	Comprendre les sommes de carrés
	Sommaire de cette page SOMMES DE PUISSANCES >>> 4 >>> 5 >>> 6 >>> 7 >>> 8

PARTITION des NOMBRES

en SOMME de PUISSANCES

Cas des puissances 4 à 8

Généralisation à toute puissance, voir: Théorème de Waring

Voir Table des puissances des nombres

SOMME DE PUISSANCES 4
19 P4	Tout entier suffisamment grand est décomposable en somme d'au plus 19 puissances quatrièmes.	Constaté, pas démontré. La démonstration existante donne 35 termes. Le plus petit qui nécessite les 19 termes: 79 = 4 x 2^4 + 15 x 1^4 Les quatre autres 159, 239, 319 et 399
17 et 18	Liste finie	Les plus petits: 63 pour 18 et 47 pour 17
16 P4	Tout entier suffisamment grand peut s'écrire sous la forme d'une somme de 16 puissances quatrièmes. Davenport 1939	Le plus petit: 31 Liste en Mathworld
5 P4	625 est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4. 50 625 est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4 distinctes.	5^4 = 625 = 2^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 4^4 15^4 = 50 625 = 4^4 + 6^4 + 8^4 + 9^4 + 14^4 Les sept configurations jusqu'à 20
4 P4	Les deux plus petites solutions =>	353^4 = 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 651^4 = 240^4 + 340^4 + 430^4 + 599^4
3 P4	6 578 est le plus petit entier décomposable de deux façons en somme de 3 puissances 4.	6 578 = 1^4 + 2^4 + 9^4 = 3^4 + 7^4 + 8^4
2 P4	17 est le plus petit entier décomposable en somme de 2 puissances 4.	17 = 1^4 + 2^4

Voir Puissance 4

PUISSANCE 4 = SOMME DE 3 PUISSANCES 4

Voici un contre exemple à la conjecture d'Euler.

Il existe une infinité de solutions.

Mais la deuxième comporte déjà des nombres de 70 chiffres.

s⁴ = a⁴ + b⁴ + c⁴

La plus petite configuration:

95 800⁴ = 84 229 075 969 600 000 000

217 519⁴ = 2 238 663 363 846 304 960 321

414 560⁴ = 29 535 857 400 192 040 960 000

422 481⁴ = 31 858 749 840 007 945 920 321

La première, trouvée par Noam Elkies en 1986, lequel a prouvé qu'il en existe une infinité.

2 682 440⁴ = 51 774 995 082 902 409 832 960 000

15 365 639⁴ = 55 744 561 387 133 523 724 209 779 041

18 796 760⁴ = 124 833 740 909 952 854 954 805 760 000

20 615 673⁴ = 180 630 077 292 169 281 088 848 499 041

Quelques exemples de: s⁴ = a⁴ + b⁴ + c⁴

Quelques exemples de: s⁴ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ + e⁴

5^4	2^4	2^4	3^4	4^4	4^4	625
10^4	4^4	4^4	6^4	8^4	8^4	10 000
15^4	2^4	2^4	6^4	12^4	13^4	50 625
15^4	4^4	6^4	8^4	9^4	14^4	50 625
15^4	6^4	6^4	9^4	12^4	12^4	50 625
20^4	8^4	8^4	12^4	16^4	16^4	160 000
25^4	10^4	10^4	15^4	20^4	20^4	39 0625

Notez que 10, 15, 20 et 25 sont multiples de 5 et partagent avec 5 le même type de somme

Voir Bicarré, somme de bicarrés – Table / DicoNombre 15

Cas singulier avec cinq bicarrés: (a + b + c + d)⁴ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴

On peut écrire: x⁴ + y⁴ = z⁴

de la manière suivante:
(x/z)⁴ + (y/z)⁴ = 1

soit: s⁴ + t⁴ = 1

Alors que la courbe s⁴ + t⁴ = 1 ne passe jamais par une paire de coordonnées rationnelles (Fermat), la courbe s⁴ + t⁴ + u⁴ = 1 passe par une infinité de points

dont les coordonnées sont rationnelles (infirme la conjecture d'Euler).

Voir Autres identités en puissance 4 / Théorème de Waring / Courbes elliptiques

CURIOSITÉS & multiples
Distincts	5 134 210 est le plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire comme la somme de puissances quatrièmes distinctes
2 fois 2P4	La plus petite solution trouvée par Euler en 1772.		635 318 657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4 3 262 811 042 = 7^4 + 239^4 = 157^4 + 227^4
2 fois 3P4	Toutes les configurations jusqu'à 20. Avec * celles trouvées par Ramanujan comme 2 673. En vert, les trois premières configurations à 1 près.
2 ou 3 fois 3P4 et 4P4	En jaune foncé, le rappel des configurions 433 (4 pour la puissance, 3 pour la quantité de termes d'un côté de l'égalité et 3 pour l'autre côté). En jaune clair les 434 et en blanc les 444. Toutes les configurations (sauf pour les 444) jusqu'à une somme de 10 000. Notez le nombre 7 203 en trois présentations.

Voir Ramanujan-Hardy

SOMME DE PUISSANCES 5
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 37 puissances cinquièmes
Somme de puissance 5 donnant une puissance 5	SIX puissances 5 248 832 est la plus petite puissance cinquième égale à la somme de 6 puissances 5. CINQ puissances 5 72^5 est la plus petite puissance cinquième égale à la somme de 5 puissances 5^e. QUATRE puissances 5 Premier contre exemple à la conjecture d'Euler. Trouvé par L.J. Lander & T.R. Parkin en 1966. Voir Nombre 144	248 832 = 12^5 = 4^5 + 5^5 + 6^5 + 7^5 + 9^5 + 11^5 1 934 917 632 = 72^5 = 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5 144^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 61 917 364 224 = 14 348 907 + 4 182 119 424 + 16 105 100 000 + 41 615 795 893
Somme de puissances de 5 distinctes	Ce nombre est le plus grand nombre qui ne peut pas s'exprimer comme somme de puissances cinquièmes distinctes.	67 898 771
Puissance 5 particulières	Ce nombre est égal à la puissance cinquième de ses chiffres.	54 748 = 5^5 + 4^5 + 7^5 + 4^5 + 8^5
Somme de 3 puissances de 2 manières, plus coquetterie	Avec aussi égalité de la somme des entiers: 119 = 3 + 54 + 62 = 24 + 28 + 67 1 375 298 099 = 3^5 + 54^5+ 62^5= 24^5 + 28^5 + 67^5 231 = 39 + 92 + 100= 49 + 75 + 107 16 681 039 431 = 39^5 + 92^5 + 100^5= 49^5 + 75^5 + 107^5

SOMME DE PUISSANCES 6
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 73 puissances sixièmes.
6 fois P6	On ne connaît pas de somme de six puissances 6 donnant une puissance 6; ni moins.
Somme de 3 puissances 6	Solution minimale d'une somme de puissances 6 égale à une autre somme de puissances 6.	3^6 + 19^6+ 22^6 = 10^6 + 15^6 + 23^6 = 160 426 514 25^6 + 62^6+ 138^6 = 82^6 + 92^6 + 135^6 = 6 963 806 813 393

SOMME DE PUISSANCES 7
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 143 puissances septièmes.	Note: 137 a été corrigé en 143 selon la source Mathworld
Somme de 3 à 6 puissances 7	Aucune solution
Somme de 7 puissances 7	568 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 7 autres puissances septièmes.
Somme de 8 puissances 7	102 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 8 autres puissances septièmes.	102^7 = 12^7 + 35^7 + 53^7 + 58^7 + 64^7 + 83^7 + 85^7 + 90^7
Somme de 9 puissances 7	62 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 9 autres puissances septièmes.	62^7 = 6^7 + 14^7 + 20^7 + 22^7 + 27^7 + 33^7 + 41^7 + 50^7 + 59^7

SOMME DE PUISSANCES 8
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 279 puissances huitièmes.	Note: 273 a été corrigé en 279 selon la source Mathworld 4 863 est le plus petit. Mais, tout entier suffisamment grand peut s'écrire sous la forme d'une somme de 163 puissances huitièmes.
Somme de 8 puissances 8	1409^8 = 90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8
Sommes de puissances 8	765 381 793 634 649 192 581 218 = 81^8 + 539^8+ 966^8 = 158^8 + 310^8 + 481^8 + 725^8 + 954^8 Scott Chase cité par Jean-Charles Meyrignac Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

Notation des sommes de puissances

On note les sommes de puissances en donnant trois nombres

La puissance

Le nombre de termes d'un côté de l'égalité

Le nombre de termes de l'autre côté

On réserve la notation à la valeur minimum de la somme

L'égalité suivante est notée (8, 1, 9):

1 167⁸ = 190⁸ + 271⁸ + 284⁸ + 348⁸ + 366⁸+ 558⁸ + 560⁸+ 1040⁸ + 1094⁸

= 3 440 066 582 016 500 042 119 041

Nuutti Kuosa - 2000

Voir généralisation: Théorème de Waring 

Suite	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange S'y retrouver – Index
Voir	Bi, tripartitions Carré des triangulaires = somme de cubes Cubes Nombre = sommes de cubes Nombre = sommes de puissances Nombres carrés Nombres cubes Nombres polygones Nombres triangles Puissances quatrièmes (bicarrés) Puissance = somme de puissances Table des puissances des nombres Somme multi puissantes Unité des puissances
DicoNombre	Nombre 5 491
Sites	Beaucoup d'autres configurations en: From MathWorld – A Wolfram Web Resource. Diophantine Equation – 4th Powers. Diophantine Equation – 5th Powers. Diophantine Equation – 6th Powers. Diophantine Equation – 7th Powers. Diophantine Equation – 8th Powers.
Sites	Sum of Fourth Powers – Tito Piezas Sums of four or more Fourth Powers – Tito Piezas Autres sites
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