NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/05/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	COMPTER
Débutants COMPTER FAQ	SAUTS de la GRENOUILLE			Glossaire COMPTER
INDEX Combinatoire Fibonacci	Compter	Grenouilles	Nénuphars
		Sommaire de cette page >>> Sauts de grenouille >>> Pour s'échauffer >>> Sprint >>> Calcul & valeurs >>> Grenouilles de Fibonacci

SAUTS de la GRENOUILLE

Où la grenouille rejoint les lapins chez Fibonacci.

SAUTS DE GRENOUILLE

Nénuphars Une grenouille saute sur des nénuphars. Elle saute toujours sur le nénuphar suivant. Mais, elle peut aussi atteindre le nénuphar d'après. Il y a 4 nénuphars alignés (par exemple) La grenouille part du premier. Quel est le nombre de possibilités pour atteindre le dernier nénuphar. Échelle On pose parfois le problème de la grenouille avec une échelle. La grenouille montre les barreaux de l'échelle et peut en sauter un.

POUR S'ÉCHAUFFER

La grenouille commence par 2 puis 3 ou 4 nénuphars pour s'entraîner.

Voici les trajets possibles:

Sur l'illustration, on développe tous les trajets possibles:

Le trajet direct avec le saut normal de 1 nénuphar,

Les trajets comportant des sauts longs de 2 nénuphars.

2 nénuphars	3 nénuphars	4 nénuphars
1 trajet	2 trajets	3 trajets

Remarque très importante

Notons Tn la quantité totale de trajets possibles pour n nénuphars:

T2	T3	T4
		T4 = T3 + T2

SPRINT
Avec un peu de méthode, la grenouille peut se lancer sur la prairie des nénuphars, et compter tous les chemins possibles.

CALCUL & VALEURS

Principe du calcul

On fait le compte pour 2 puis 3 puis 4 … nénuphars.

On remarque que pour 4 nénuphars (T4), il y deux cas:

Le premier:

la grenouille fait un saut de 1 nénuphar

et se retrouve comme elle l'était avec 3 nénuphars: T3

Le deuxième:

la grenouille fait un saut de 2 nénuphars

et se retrouve comme elle l'était avec 2 nénuphars: T2

T4 = T3 + T2

Cette propriété se vérifie toujours

T_n = T_n-1 + T_n-2

Or, on sait que

T2 = 1

T3 = 2

Il suffit maintenant de faire les comptes successifs:

T4 = T3 + T2 = 2 + 1 = 3

T5 = T4 + T3 = 3 + 2 = 5

…

Valeurs

Nénuphars	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Trajets	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	…

GRENOUILLES DE FIBONACCI

Suite de Fibonacci

Nous avons reconnu la suite des nombres de Fibonacci.

Chacun est la somme des deux précédents.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …

Lapins de Fibonacci

Rappelons-nous le coup des lapins de Fibonacci.

Et comparons aux grenouilles.

Couple de Lapins	Grenouille
Chacun vit sa vie.	Trajet direct de la grenouille.
Chacun attend un cycle pour donner vie à un autre couple de lapins.	La grenouille peut se lancer dans un trajet avec un saut de 2 nénuphars.

On constate que les graphes représentant les deux cas sont rigoureusement équivalents.

Le saut de la grenouille est même plus simple à comprendre que l'histoire des couples de lapins qui engendre des couples qui se reproduisent en consanguinité.

Fractales

Regardez le graphe des trajets possibles ci-dessus.

Chacune des parties plus ou moins grandes se répète vers la droite. Voir le groupe montré en vert sur le graphe, par exemple.

Ce phénomène d'auto similarité est typique des fractales.

Retour	Combinatoire – Rubriques D'un coup d'œil
Suite	Les grenouilles sauteuses
Voir	Cartes Compter les nombres Coup du lapin Dés Dominos Échecs Factorielle Factorielle et ses cousines Fibonacci Grenouilles Jeux Probabilités Puzzles et énigmes Triangle de Pascal
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/Grenouil.htm