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		Sommaire de cette page >>> Paradoxe du nénuphar >>> Cas de la population >>> Croissance >>> Cumul – Intégrale - exponentielle >>> Équation de l'exponentielle du nénuphar

INTRODUCTION aux EXPONENTIELLES

Les exponentielles, des fonctions mathématiques que vous retrouvez dans la croissance du nénuphar ou le calcul de vos intérêts à la banque.

Devinette

Question:

Quelle est la moitié de ce nombre ?

2^100

Réponses:

2^50

2^99

Une bestiole se dédouble toutes les secondes et remplit la boite de culture en une minute. La laborantine en place quatre dans la boite. Combien de temps pour remplir la boite?

Solution

PARADOXE DU NÉNUPHAR

Devinette	Solution
Un nénuphar couvre un étang en 100 jours. Il double sa surface tous les jours. Quand avait-il couvert la moitié de l'étang ?	Ben non! Pas 50 jours. Mais 99 !

Jeux

Paradoxes 

Nénuphar

Exponentielles

Alternative

Le nénuphar double sa surface tous les ans. À la vingtième année, il couvre toute la nappe d'eau. Si on avait mis deux nénuphars au départ, quand aurait été recouverte la nappe d'eau. Dix-neuf ans, bien entendu. Il recouvre chacun la moitié. l'année précédente, il recouvrait chacun le quart.

Voir Paradoxe de l'horloge

Paradoxe du nénuphar et parabole C'est l'histoire du nénuphar qui double de surface chaque jour Il occupe toute la surface de l'étang en 100 jours En observant la croissance, au jour 95, on peut être tenté de dire : " on a bien le temps, il n'occupe que 3% de l'étang ! " Mais, au jour 100, c'est l'asphyxie ; c'est la fin ! Parabole à appliquer aux réserves d'énergie de la planète, à la démographie ou à la pollution... Qui va nous servir également à aborder les exponentielles

Les valeurs sont encore plus spectaculaires quelques jours avant 

1 pour mille au jour 90

On attend très longtemps avant de voir un phénomène "explosif"

Rien durant 9/10 du temps

Et multiplication par 1000 en 1/10 de temps

Voir Vitesse

CAS DE LA POPULATION - Remarque

Un accroissement de la population de 2% par an peut sembler dérisoire ; et pourtant, cela correspond à  =>

Population	x 2	x 4	x 7
En	35 ans	70 ans	1 siècle

Voir Croissance logistique

CROISSANCE – Variation - Dérivée

Chaque jour, la croissance du nénuphar dépend de sa taille la veille

Plus il est grand, plus il prospère

Cette croissance est un peu comme une progression géométrique

C'est une croissance dont la variation à chaque période est proportionnelle à la valeur déjà atteinte. dx = k . x . dt
x	la grandeur étudiée fonction du temps	Aire du nénuphar
dt	la durée élémentaire envisagée	La journée
dx	la variation durant la période dt	Variation de l'aire du nénuphar dans la journée
k	la rapidité de la variation	Caractérise le doublement du nénuphar chaque jour

Voir Dérivée

CUMUL – Somme - Intégrale

La fonction qui progresse de cette manière s'appelle l'exponentielle.

x(t) = x(0) . e^k . t
x(t)	Valeur de la grandeur à l'instant t.
x(0)	Valeur de la grandeur à l'instant initial.
e	Constante "e" ou nombre de Neper .

Voir "e" et la banque

Équation de la courbe de croissance du nénuphar

Paramètres Au 100^e jour le nénuphar atteint sa taille 1. Il multiplie sa surface chaque jour. Valeur de y y100 = 1 y99 = 1/2 y98 = 1/2^2 y100-n = 1/2^n Si sa taille est T au départ y0 = T y1 = 2 T y2 = 2^2 T yn = 2^n T Or la taille au départ est égale à T = 1/ 2^100 = 1/ 1,26 10^30 = 7,88 … 10^-31 Équation de croissance du nénuphar y = 7,88 10^-31 . 2^x Avec 2 = exp (ln (2)) On prend l'exponentielle de son logarithme, ce qui est une opération blanche (comme si on élevait au carré puis on prenait la racine carrée). Et ln(2) = 0, 69 … L'équation de la croissance du nénuphar devient: y = 7,88 10^-31 . e^0,69 x Pour info: ln(2) = 0,69314718055994530942… T = 1 / 2^100 = 1 / 1267650600228229401496703205376

Devinette – Solution

Question:

Quelle est la moitié de ce nombre ?

2^100

Réponses:

2^50

2^99

Car: 2 x 2⁹⁹ = 2¹ x 2⁹⁹ = 2^{1 + 99} = 2¹⁰⁰

Question

Une bestiole se dédouble toutes les secondes et remplit la boite de culture en une minute. La laborantine en place quatre dans la boite. Combien de temps pour remplir la boite?

Réponse

En prenant le processus par le début:

dans le cas d'une seule bestiole, on démarre avec 1 bestiole puis 2 bestioles en une seconde puis 4 bestioles en deux secondes, puis …,

dans le cas proposé, on commence avec 4 bestioles; c'est comme si on avait démarré le premier processus à la deuxième étape du cas précédent, soit 2 secondes plus tard.

Le temps de remplissage est donc 60 – 2 = 58 s

Retour

Le nénuphar de Boris Vian

Dans l'Écume des Jours, la chambre où se meurt peu à peu Chloé rétrécit à mesure que grandit dans son poumon le nénuphar qui la tue.

Voir Poésie

Suite en	Exponentiel et nombre de Napier "e" Puissances de 2 Déluge exponentiel
	Carrés magiques Débutants – Index Exposants et puissances Exposants – Index Grenouille sur nénuphar Logique – Index Nombres Tonneau
Livre	L'équation du nénuphar - Les plaisirs de la science Calmann-Levy – 1998 d' Albert Jacquard: né en 1925, polytechnicien, diplômé de l'Institut d'études démographiques (INED)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/ExpoDebu.htm