NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/01/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	COMPTER – DÉNOMBRER
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		Sommaire de cette page >>> Choix de ma voiture >>> Louise & Clément >>> Et Théo >>> Les cousins sont là		>>> Arrangez-vous! >>> Bilan >>> Football >>> Compteur

Le plus ancien dénombrement de l'humanité

Moïse fit le dénombrement sur l'ordre de l'Éternel, en se conformant à l'ordre qui lui fut donné. Le Livre des nombres – Bible

Voir Pensées & humour

COMPTEZ - DÉNOMBRER

Trouver la quantité d'objets: les compter un à un ou trouvez une méthode pour les recenser globalement ?

On apprend à compter en classe

- Combien de bonbons,

- Combien d'élèves,

- Combien de voitures sur la route en une heure,

- Combien de votes à l'élection,

- Etc.

Ici, il s'agit de compter lorsque les choses sont un peu moins évidentes. On dit alors que l'on dénombre.

Domaines

	Dés		Cartes
Équipes		Loto
	Autour d'une table		Roulette
Anagrammes		Emploi du temps
	Codes		Tiercé
Etc.

Choix de ma voiture – Un exemple pour se lancer
Achat de ma nouvelle voiture Le concessionnaire me laisse le choix entre ces différents modèles équipés. Combien de possibilités de choix ?	Choix Voiture 2 ou 4 portes; Essence ou Diesel Air-conditionné ou non Couleur: bleue, verte, rouge, jaune ou mauve.
Quels sont mes choix successifs ?
1. Je commence à choisir ma catégorie: 2 ou 4 portes		2 possibilités
2. Puis ma motorisation: essence ou diesel Bilan: 4 possibilités: 2 portes essence, 2 portes diesel, 4 portes essence ou 4 portes diesel		2 possibilités
3. Mon choix de climatisation Bilan: deux fois plus de choix: 4 x 2 = 8 possibilités		2 possibilités
4. Mon coloris préféré Bilan encore cinq fois plus de choix: 8 x 5 = 40 possibilités		5 possibilités
Illustration Exemple: la première ligne représente des cinq choix de voitures à deux portes, à essence et AVEC air-conditionné. La deuxième ligne, les cinq modèles à deux portes, à essence et SANS air-conditionné.

Explications pas à pas

LOUISE & CLÉMENT

Louise et Clément, réveillés de bonne heure, se glissent dans la bibliothèque et y découvrent les ordinateurs des parents: le portable de Papa et le fixe de maman.

Je prends celui de maman, dit Louise!

D'accord, mais tu me laisseras l'essayer tout de même, dit Clément. Si tu veux …

Et nos deux bambins s'initient à l'informatique ou …aux jeux avec informatique.

Conclusion

Si on dispose de deux places pour jouer.

Jeux 1

Jeux 2

Avec deux joueurs, il y a deux possibilités de jeu.

	Jeux 1	Jeux 2
1	Louise	Clément
2	Clément	Louise

On peut intervertir les deux joueurs.

On peut les permuter.

Permutation

entre deux personnes

ET THÉO

C'était sans compter avec Théo, le petit dernier qui arrive avec sa Game Boy.

Lui aussi voudrait tapoter sur le clavier des grands

Théo survient avec sa Game Boy.	Louise	Clément1	Théo
Il arrive à séduire sa sœur. Que ne ferait-elle pas pour son petit frère!	Théo	Clément1	Louise
Clément ferait bien un peu de Game Boy pour lui rappeler sa jeune enfance.	Théo	Louise	Clément2
Louise a tout fait, mais Théo se roule par terre pour avoir le gros ordinateur de papa.	Louise	Théo	Clément2
Clément en profite pour convaincre Louise de l'intérêt de jouer sur Game Boy.	Clément3	Théo	Louise
Théo s'intéresse deux minutes à l'ordinateur et revient vite à son jeu favori.	Clément3	Louise	Théo
Chacun constate ravi, qu'il a essayé toutes les machines.

Conclusion

Lorsque Clément était à l'ordinateur de papa, Louise et Théo ont permuté		Clément1 => 2 cas
Lorsque Clément était à la Game Boy, Louise et Théo ont permuté			Clément2 => 2 cas
Lorsque Clément était sur le portable, Louise et Théo ont permuté	Clément3 => 2 cas
Au total, il y a 3 x 2 = 6 possibilités	2 cas	2 cas	2 cas

Ne soit pas jalouse Louise, on aurait pu faire le même raisonnement avec toi ou avec Théo

LES COUSINS SONT LÀ

Le cousin Alex et la cousine Justine sont là pour la journée.

Ils sont désormais 5 enfants: Alex, Clément, Justine, Louise et Théo (A C J L T).

Attention les enfants, dit maman, vous pouvez jouer avec les ordinateurs, mais à tour de rôle.

Trois des 5 enfants se retrouvent dans la pièce et s'installent comme ils veulent sur les machines	Salle des ordinateurs	Extérieur
Première équipe de 3 =>	A C J	L T
Deuxième équipe de 3 =>	A C L	J T
Ainsi de suite …	A L T	C J
Combien peut-on former d'équipes de 3? Combien de situations? Combien de combinaisons?	…	…
On apprendra à les compter; il y a en fait =>	10 combinaisons

ARRANGEZ-VOUS!

Papa, un peu matheux, se met à calculer: Si chaque équipe passe une demi-heure dans la salle des ordinateurs. Combien faut-il de temps pour que toutes les équipes y passent?
Il est possible de former Chacune reste Pour faire passer toutes les équipes, il faut disposer de	10 équipes 1/2 heure 10 x 1/2 = 5 heures
Papa n'en reste pas là, j'ai bien dit qu'il est matheux. Il se demande ce qui se passe dans la salle des ordinateurs avec une équipe de 3 enfants. Eh, bien, croyez-le ou pas, ces gamins s'organisent pour explorer toutes les possibilités. Ils sont trois, et permutent leur rôle sur chaque machine. On a vu dans le cas de Clément, Louise et Théo qu'il y a 6 possibilités, on dit 6 permutations. Et, papa de calculer.
OK, on a la quantité de possibilités. On sait que cette équipe reste 30 minutes dans la pièce. Pour donner le même temps à chacun, au bout de combien de temps faut-il permuter?	6 permutations 30 minutes 30 / 6 = 5 minutes par permutation

BILAN

Papa souhaite en tirer une conclusion! S'ils jouent pendant 5 heures, les 5 cousins pourront tous passer dans la salle de l'ordinateur par équipes de 3 distinctes. Il y aura 10 équipes et chacune restera dans la salle durant 30 minutes. Durant cette demi-heure de jeu d'une équipe de 3 enfants, ceux-ci vont permuter sur chacune des machines pour tester toutes les possibilités. Il y aura 6 permutations chacune de 5 minutes. Au total, Les machines verront passer des équipes de 3 enfants toutes les 5 minutes, et ce durant 5 heures. Il y aura une équipe ordonnée toute les 5 minutes pendant 5 heures (= 300 minutes). Soit: 300 / 5 = 60 équipes ordonnées au total.

FOOTBALL

Ce club dispose de 22 joueurs. Un match nécessite 11 joueurs. Chaque jouer a la capacité d'occuper un poste quelconque (imaginons). Comparaison qui donne le vertige: En formant une équipe toute les minutes. En sachant qu'il y a 525 600 minutes dans une année, nuit et jour. Pour explorer toutes les combinaisons: toutes les équipes distinctes de 11 joueurs à partir des 22 du club il faudrait 1,3 année. Une équipe de 11 joueurs étant formée on fait passer tout le monde à des postes différents par permutations il faudrait 76 ans. Pour explorer tous les arrangements toutes les équipes ordonnées possibles il faudrait 50 000 millénaires !

Voir Football / Quart de finale

Cas du compteur – Attention aux situations
Carré Compter les sommets du carré: 4 Numéroter les sommets avec deux chiffres (0,0) (0,1) (1,0) (1,1). Autre façon de voir: deux réglettes coulissantes et une fenêtre d'observation Il y a bien quatre façons de positionner les réglettes: 00, 01, 10, 11. Avec deux chiffres binaires, on peut écrire quatre nombres
Cube Compter les sommets du cube: 8 Numéroter les sommets avec deux chiffres (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1), (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1). Il y a bien huit façons de positionner les réglettes: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Deux possibilités pour chaque réglette. En ajoutant une réglette, il y a deux fois plus de possibilités. Soit: 2 x 2 x 2 = 2^3 = 8 Avec trois chiffres binaires, on peut écrire huit nombres
Compteur Cette fois, chaque réglette comporte dix chiffres. Nous avons un choix de 10 possibilités pour la première, dix pour la suivante et dix pour la dernière Soit: 10 x 10 x 10 = 10^3 = 1 000 possibilités Nous pouvons écrire 1000 nombres avec trois chiffres (de 0 à 999). C'est bien ce que nous savons tous.	Notez qu'en enroulant les réglettes sur elle-même, nous réalisons un compteur classique. Avec trois chiffres décimaux, on peut écrire mille nombres.

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