NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Types de triangles

 

Triangle

 

Dénombrement

Point Milieu

Droites et points

Pappus

Point et triangles

Angles (180°)

Quantité de triangles

Torricelli

Triangles et triangles

Triangulation

Quatre triangles

Heilbron

Carrés triangles

Triangles trois en cinq

Représentation

Brocard

Cercles et triangles

Triangles dans les polygones

Démo fallacieuse

 

Sommaire de cette page

>>> Pour commencer

>>> Combien de triangles ?

>>> Triangles dans le triangle

>>> Triangles dans l'étoile

>>> Triangles dans l'hexagone

>>> Triangles dans le triangle

 

 

 

 

Compter les triangles

 

Il existe plusieurs méthodes pour faire un décompte systématique. Quelques exemples.

 

 

 

Devinette

Combien de triangles dans cette figure ?

Solution

 

Pour commencer

 

Combien de triangles dans cette figure ?

Ils sont de trois tailles et le décompte est le suivant:

 

40 triangles sur cette figure

   

 

 

Combien de triangles ?

L'approche consiste à compter les triangles seuls ou assemblés:

 

*      Triangles isolés: 9;

*      Triangles par 2: 28, 34, 35, 46, 56: 5;

*      Triangles par 3: 128, 153, 156, 287, 467, 567: 6;

*      Triangles par 4: 1253, 2879, 4678, 5679, 6789 : 5;

*      Triangles par 5: 13456, 34567 : 2;

*      Triangle par 6: 0;

*      Triangle par 7: 1256789: 1;

*      Triangle par 8: 12345678: 1.

 

Total: 9 + 5 + 6 + 5 + 2 + 0 + 1 + 1 = 29

Voir Brève 854

 

 

TRIANGLES dans le TRIANGLE

 

Cette figure de gauche comporte 13 triangles équilatéraux.

Dont 1 grand (vert) et 9 petits (bruns) faciles à dénombrer.

Plus 3 moyens (bleus) à ne pas oublier.

 

En dupliquant cette figure (losange), on double la quantité de triangles et on ajoute deux triangles moyens (bleus), à cheval sur les deux figures initiales.

 

 

 

 

La première figure montre un hexagone inscrit dans le triangle équilatéral. La seconde montre deux fois cet hexagone (vert clair) plus deux supplémentaires (jaune et bleu) à cheval sur les deux figures initiales.

 

 

 

TRIANGLES dans ÉTOILE

 

Quelle est la quantité de triangles dans cette figure en étoile à six branches ?

Image858

 

 

20 = 12 petits (6 au centre et 6 pour les branches)

        + 6 moyens

        + 2 grands

 

 

TRIANGLES dans l'hexagone

 

Quelle est la quantité de triangles dans cet hexagone régulier?

Notez que toutes les diagonales ne sont pas présentes. Pour l'hexagone avec toutes es diagonales >>>

 

Les compter visuellement ne vous rendra pas confiant du résultat (sauf si vous le connaissez par avance!)

La méthode sûre consiste à prendre chaque côté possible et à chercher à former un triangle avec les autres points. On procède par numéros croissants: un triangle 123 est le même que le triangle 231, par exemple.

Un tableau fera l'affaire.

 

 

 

 

Le décompte donne 37 triangles dans cette figure.

 

 

 

 

TRIANGLES dans le TRIANGLE

 

Quelle est la quantité de triangles dans cette figure triangulaire?

 

 

Il y en a 47

 

 

Voyons comment les dénombrer sûrement:

 

 

 

Décompte selon méthode logique:

 

Quantité

Couleur départ

Taille

Modèle

6

jaunes

demi

AEH

6

AEG

6

AEF

3

ABG

6

ABF

6

bleus

HEG

6

HEF

3

jaunes

complet

AED

3

bleus

larges

DEG

1

grand

DEF

1

jaune et bleu

très grand

ABC

  

 

 

 

Décompte exhaustif

 

*            C'est une autre méthode: elle est sûre, mais fastidieuse.

 

*            Les deux premiers sommets sont indiqués dans les deux premières colonnes. Le troisième sommet est donné dans les colonnes suivantes.

*            On donne tous les triangles possibles en marquant la 3e lettre en jaune.

 

Exemples

ABC, ABD, ABF, ABG, ACE, etc.

 

Toutes les possibilités:

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

A

C

 

D

E

F

G

H

I

J

A

D

 

 

E

F

G

H

I

J

A

E

 

 

 

F

G

H

I

J

A

F

 

 

 

 

G

H

I

J

A

G

 

 

 

 

 

H

I

J

A

H

 

 

 

 

 

 

I

J

A

I

 

 

 

 

 

 

 

J

14

 

B

C

D

E

F

G

H

I

J

B

D

 

E

F

G

H

I

J

B

E

 

 

F

G

H

I

J

B

F

 

 

 

G

H

I

J

B

G

 

 

 

 

H

I

J

B

H

 

 

 

 

 

I

J

B

I

 

 

 

 

 

 

J

10

 

C

D

E

F

G

H

I

J

C

E

 

F

G

H

I

J

C

F

 

 

G

H

I

J

C

G

 

 

 

H

I

J

C

H

 

 

 

 

I

J

C

I

 

 

 

 

 

J

7

 

D

E

F

G

H

I

J

D

F

 

G

H

I

J

D

G

 

 

H

I

J

D

H

 

 

 

I

J

D

I

 

 

 

 

J

9

 

E

F

G

H

I

J

E

G

 

H

I

J

E

H

 

 

I

J

E

I

 

 

 

J

5

 

F

G

H

I

J

F

H

 

I

J

F

I

 

 

J

2

 

G

H

I

J

G

I

 

J

0

 

H

I

J

0

 

 

 

 Devinette – Solution

Combien de triangles ?

 

Dénombrement

Par la méthode directe

 

Bilan

4 + 4+4  + 4x4 + 4x4 = 11 x 4 =

44 triangles

 

 

 

Les 4 triangles formés par les diagonales d'un carré.

 

 

Les 4 triangles rouges et les 4 triangles bleus.

 

Quatre fois les 4 triangles avec les diagonales d'un carré.

 

 

Quatre fois les 4 petits triangles dans un carré.

Méthode de la
matrice de connexion

 

(Suivre le lien pour exemple d'application)

 

 

 

 

Méthode pas à pas

 

Lecture sur le graphique en procédant par ordre alphabétique.

 

Sans le O central

ABC, ABD, ACD, AEH, AEI, AHI,

BCD, BGH, BGL, BHL

CFG, CFK, CGK,

DEF, DEJ, DFJ,

EFG, EFH, EGH,

FGH,

Total 20

 

Avec le O central

Retour

 

 

 

Suite

*      Compter les triangles dans une figure quelconque

*      Compter les triangles dans les polygones

*      Devinette avec deux triangles

Voir

*      Carré dans le triangle, construction astucieuse

*      Dénombrement – Index

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*      Polygones

*      Triangle – Index

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