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Édition du: 02/10/2022 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Types de nombres Décomposition des Nbs Inventaire des nombres Nombres par leur nom	Nombres p-adiques
	Introduction	Nombres décadiques	Séries
	Opérations	Nombres triadiques	p-adiques – Théorie
	Division et inverse	P-adique périodique	p-adiques – Pratique
	Automorphes		Tables de p-adiques

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NOMBRES 3-adiques Triadiques et leurs représentations Nombres p-adiques en base 3. Exemple de représentations. Valable pour les autres p-adiques, mais de plus en plus compliqué à visualiser. En fait, l'exemple des triadiques permet de se familiariser avec ces nombres étranges.
	Sommaire de cette page >>> Représentation des nombres >>> Construction des ensembles de nombres >>> Triadiques – Représentation par ensembles >>> Triadiques – Représentation par arbre >>> Triadiques – Représentation par puits fractals	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Représentation des nombres		haut
Les nombres entiers ont représentés par des points espacés régulièrement sur une droite. Les nombres rationnels (fractions) complète ces points Les nombres réels remplissent la droite des nombres de manière continue.	Droite des nombres "ordinaires"
Comment représenter les nombres p-adiques ? La droite des nombres ne convient pas. Imaginons la suite des nombres 3-adiques avec de plus en plus de chiffres. Ci-contre.	Tous les nombres triadiques à trois chiffres

Construction des ensembles de nombres

Voir Ensembles des nombres

Triadiques – Représentation par ensembles		haut
La première bulle représente le premier chiffre (ici le 0). Les bulles emboitées représentent les chiffres suivants. L'illustration montre le nombre triadique 012.

Autres exemples: Qu'est-ce que les nombres p-adiques – Alain M. Robert

Triadiques – Représentation par arbre		haut
Arbre à trois branches successives. En p-adique, on remonte les branches. Ainsi les trois nombres au centre se lisent: …011 …111 …211 On poursuit l'arbre en ajoutant un étage de branches ou des chiffres vers la gauche des nombres.	La distance p-adique est très curieuse ! Prenons deux nombres en bout de branches: …000 et …001, ils ont en commun 00. La distance entre eux est égale à 1/3². Autres exemples: Distance entre …000 et …002 = 1/3^2 = 1/9 Distance entre …000 et …020 = 1/3^1 = 1/3 Distance entre …000 et …222 = 1/3^0 = 1

Triadiques – Représentation par puits fractals		haut
On creuse trois puits numérotés 0, 1et 2.. Puis, dans chacun, trois puits plus petits. Puis, à nouveau trois puits; Ainsi de suite. Les hauteurs sont divisées par 3 à chaque fois. Même chose pour les largeurs. La distance entre deux nombres est la hauteur de la plus grande tour qui les sépare. a = …100 b = …120 c = … 012 d = … 212 d(a, b) = 1/3 d(a, c) = 1 d(c,d) = 1/9 Géométrie déroutante En jaune, on a représenté un cercle: lieu des points à une distance r de c. En p-adique tous les points situés sur la ligne du bas sont à la distance 1/3. Ce sont bien les points du cercle p-adique. Imaginons un autre cercle de rayon r' < r et de centre c' voisin de c. Ce deuxième cercle est inclus dans le premier ou égal au premier, mais jamais en intersection.	Représentation des triadiques en puits et tours Représentation de deux cercles p-adiques

Voir Fractales

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Suite	Nombres p-adiques – Séries Nombres décadiques – Se familiariser avec les p-adiques
Voir	Fractions – Glossaire Fractions continues Introduction aux nombres premiers Inventaire des nombres Nombres premiers et nombres composés Représentation des nombres Suites
Sites	Voir références générales en première page Wells, Walls, and Weird Numbers: an introduction to p-adics – Simon S.H. – Vidéo
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/NombrCar/PadiqueT.htm