Fermat n = 3 Existence

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/04/2014 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Théorème de Fermat-Wiles
Débutants Triplets de Pythagore	Cas n = 3			Glossaire Puissances
INDEX Puissance Décomposition	Théorème général	Familiarisation	Démonstration	Primitif (1)
	Nouveau cube (2)	PGCD (3)	Équation E223 (4)
		Sommaire de cette page >>> Existence de la solution >>> Cas z pair >>> Cas z impair

Théorème de Fermat-Wiles avec n = 3

Existence d'un nouveau cube

Où nous nous faisons apparaître un polynôme particulier: 2p (p² + 3q²)

Et celui-ci est un cube.

Condition d'existence de la solution

Ce qu'il faut démontrer

S'il existe une solution pour n = 3, alors il existe p et q tels que:

PGCD(p,q) = 1;

p,q sont de parités opposées;

p,q sont positifs; et

2p (p² + 3q²) est un cube.

Démonstration: cas z pair (x et y sont impairs)

Nous sommes dans les cas où x et y sont impairs, leur somme et différence sont paires.

x + y est pair

x – y est pair

Isolons le facteur 2 avec p et q:

2p = x + y

2q = x – y

En ajoutant:

2p + 2q = 2x

p + q = x

En retranchant:

2p – 2q = 2y

p – q = y

Que peut-on dire du PGCD de p et q?

S'il existe un facteur commun f, que deviennent x et y?

Ils auraient aussi un facteur commun; ce qui est contraire à notre hypothèse.

p = f P

q = f Q

x = f P + f Q = f (P + Q)

y = f P – f Q = f (P – Q )

f = 1 et PGCD (p,q) = 1

p et q sont premiers entre eux

Parités de p et q ?

Rappel: x et y sont impairs.

x = p + q est impair, alors p est pair et q est impair ou l'inverse. Les nombres p et q sont de parités opposées.

Calcul de z³

Factorisation de la somme des cubes.

z³ = x³ + y³

= (x + y) (x² – xy + y²)

= (p+q + p–q)

( (p+q)² – (p+q)( p–q) + (p–q)² )

z³ = 2p (p² + 3q²)

Cette expression est donc un cube.

Démonstration: cas x pair (y et z sont impairs)
Cette partie, uniquement pour nous convaincre, car nous savons que nous pouvions supposer que c'est z qui est pair au prix d'une inversion des rôles entre (x et y) d'une part et z d'autre part. Le raisonnement est d'ailleurs le même que ci-dessus.
Somme et différence des impairs sont pairs.	2p = (z – y) 2q = (z + y)
En ajoutant et retranchant:	z = p + q y = q – p
Avec z impair = p + q.	p et q sont de parités opposées.
Par le même raisonnement que ci-dessus:	PGCD (p,q) = 1 p et q positifs
Calcul de x³. Factorisation de la somme des cubes. Tous calculs faits:	x³ = z³ – y³ = (z – y) (z² – zy + y²) = 2p (p² + 3q²) Cette expression est un cube.

*Retour*	Démonstration
*Suite*	PGCD de p et q
Voir	Théorème de Fermat-Wiles
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/FERMAT/Fer3Exis.htm