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	Théorème de Fermat-Wiles
Débutants Triplets de Pythagore	Cas n = 3			Glossaire Puissances
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		Sommaire de cette page >>> Factorisation de la somme >>> Congruence >>> Divisibilité par 3

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Cette page est inspirée de la page en anglais

http://fermatslasttheorem.blogspot.fr/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Théorème de Fermat-Wiles avec n = 3

Introduction

La somme de deux cubes (non nuls) n'est jamais un cube:

x³ + y³ = z³ n'a pas de solutions entières.

Voyons quelques propriétés avant de se lancer dans la démonstration.

Factorisation de la somme
Comme toutes les sommes de cubes, celle-ci est factorisable. x^3 + y^3 = (x + y) (x² – xy + y²) Ou aussi x^3 + y^3 = (x + y) ((x – y)^2 + xy ) Exemple 3^3 + 5^3 = (3 + 5) (3² – 3x5 + 5²) 27 + 125 = 8 (9 – 15 + 25) 152 = 8 x 19 Plus amusant 9^3 + 9^3 = 18 x 81	Exploitation pour notre démonstration En posant: x = p + q y = p – q Somme et différence: x + y = 2p x – y = 2q En reprenant la seconde égalité: x^3 + y^3 = (x + y) ((x – y)^2 + xy ) = 2p ( (2q)² + (p + q)(p – q) ) = 2p ( 4q² + p² - q²) = 2p (p² + 3q²) Cette égalité va nous être précieuse. Notamment p² + 3q² va s'avérer être un cube et nous devrons trouver les solutions de l'équation diophantienne: p² + 3q² = u^3.

Congruence
Une conséquence du petit théorème de Fermat: Si p est un nombre premier et a un entier quelconque, la différence : a ^p – a est divisible par p. Voir Congruence (modulo) Tout entier est congru à son cube modulo 3. (Un nombre et son cube divisé par 3 ont le même reste). Exemple 4^3 = 64 4 1 mod 3 64 1 mod 3	Pour la somme de cubes x^3 x mod 3 y^3 y mod 3 x^3 + y^3 x + y mod 3 z x + y mod 3 Autrement dit z = x + y + 3k Exemple 4^3 + 5^3 = 64 + 125 = 189 (189 qui n'est pas un cube, bien sûr!) 189 0 mod 3 4 + 5 = 9 0 mod 3 Est-ce que cette remarque sera utile ?

Divisibilité par 3
Une jolie propriété Si x^3 + y^3 = z^3, alors un des entiers parmi x, y ou z est divisible par 3 Sans lendemain, puisqu'il n'existe aucun nombre de la sorte.	Si x^3 + y^3 = z^3 Rappel: la barre verticale se lit: divise.
Nous venons de voir que: Qui conduit à:	x + y + 3k = z x^3 + y^3 = (x + y + 3k)^3
D'une manière générale, en modulo 9, pour un cube de la sorte: Voir Développement du cube	(A + 3k)^3 = A^3 + 9A²k + 9Ak² + 27k^3 = A^3 + 9 (A²k + Ak² + 3k^3) (A + 3k)^3 = A^3 mod 9
Pour nous avec A = x + y, Effet: le terme en 3k disparait.	x^3 + y^3 (x + y)^3 mod 9
En développant le cube	x^3 + y^3 x^3 + y^3 + 3xy (x + y) mod 9
On retranche les cubes de chaque côté	0 3xy (x + y) mod 9
Ce qui veut dire qu'en plus du facteur 3, le reste est divisible par 3 pour faire 9.	xy (x + y) est divisible par 3
L'un des trois facteurs est divisible par 3. En se souvenant que z = x + y mod 3.	x ou y ou z est divisible par 3

Bilan

Nous voici parés pour attaquer la démonstration du théorème de Fermat-Wiles pour n = 3 (E3). C'est un grand voyage du même type que la démonstration de E42, mais en beaucoup plus long … Il faut s'accrocher!

Lorsque nous chercherons à appliquer un théorème pour progresser dans la démonstration, il y aura généralement deux temps:

Remplir les conditions d'applications du théorème, et

Appliquer le théorème.

Cas typique: soit un cube égal à un produit de facteurs. Chacun est aussi un cube, à la condition que les facteurs soient premières entre eux (PEE).

Suite	Fermat pour n = 3 – Démonstration
Voir	Théorème de Fermat-Wiles
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