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	Théorème de Fermat-Wiles
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INDEX Puissance Décomposition	Théorème général	Familiarisation	Démonstration	Primitif (1)
	Nouveau cube (2)	PGCD (3)	Équation E223 (4)
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Théorème de Fermat-Wiles avec n = 3

PGCD

Nous avons fait connaissance avec l'expression 2p (p² + 3q²). Nous savons qu'elle représente un cube, nous allons nous intéresser au PGCD des deux facteurs.

PGCD (2p, p² +3q²) = ?

Premiers entre eux? Oui, mais pas la seule possibilité …

Évaluation du PGCD
Ce qu'il faut démontrer PGCD (2p, p² + 3q²) est égal à 1 ou 3, Sachant que p et q sont premiers entre eux et de parités opposées. Démonstration
Soit un facteur f qui divise les deux termes.	2p = f P p² + 3q² = f Q
Nous allons montrer que:	f de peut pas être supérieur à 3. f ne peut pas être 2. f = {1 ou 3}
p et q sont de parités opposées. Rappel: un pair est de la forme 2k et un impair 2h+1. Examinons les deux cas de parité pour p² + 3q².	p² + 3q² devient: Premier cas (2k)² + 3(2h+1)² = 4k² + 3(4h² + 4h +3) =4k² + 12h² + 12h + 9 = 2M + 9 Second cas (2k+1)² + 3(2h)² = 4k² + 4k + 1 + 12h² = 2N + 1 Tous deux sont non divisibles par 2. Donc f n'est pas pair, donc pas 2.
Nous savons que f n'est pas 2. C'est donc P qui est pair. Posons P = 2H. Alors f divise p.	2p = f P (cf. tout en haut) P = 2H 2p = f (2H) p = f H
Exprimons 3q² à partir de son expression du tout début.	3q² = fQ – p² (cf. tout en haut) = fQ – f²H² = f (Q – fH²)
Montrons que:	f n'est pas supérieur à 3. Alors supposons qu'il le soit …
Si f n'est pas 3, il doit diviser q² alors f divise q.	Bilan f divise à la fois p et q
Or p et q sont premiers entre eux (hypothèse).	Supposition fausse! f n'est pas supérieur à 3. Donc f est égal à 3 ou … moins.
f n'est pas 2 f n'est pas supérieur à 3	f est égal à 3 ou aussi à 1.

Nous allons examiner ces deux cas: PGCD = 1 puis PGCD = 3.

Cas PGCD = 1
Ce que nous savons 2p (p² + 3q²) est un cube. p et q sont positifs, premiers entre eux et de parités opposées. Ce qu'il faut démontrer Si PGCD (2p, p² + 3q²) = 1, alors il doit exister une solution plus petite: x^3 + y^3 = z^3 A^3 + B^3 = C^3 Démonstration
Cette expression est un cube.	2p (p² + 3q²) = K^3
Les facteurs sont premiers entre eux.	(2p, p² + 3q²) = 1
Alors, ses facteurs sont des cubes.	2p = I^3 p² + 3q² = J^3
Voici pourquoi nous avions besoin de démontrer que:	PGCD (2p, p² + 3q²) = 1

Nous allons maintenant utiliser un théorème intermédiaire (un lemme)	Il s'agit de la résolution de l'équation p² + 3q² = u^3
À propos du second facteur, selon ce lemme il existe a et b tels que:	p = a^3 – 9ab² q = 3a^2b – 3b^3 PGCD(a,b) = 1; et a et b de parités opposées.
Notons, pour p, une mise en facteur intéressante (différence de deux carrés):	p = (a^3 – 9ab²) p = a (a² – 3² . b²) p = a (a – 3b) (a + 3b)

Montrons que 2a, a – 3b et a + 3b sont premiers entre eux.
a et b sont de parités opposées.	a – 3b est impair a + 3b aussi Donc, non divisible par 2
Si a avait un facteur commun avec l'une ou l'autre des deux sommes algébriques, il diviserait b. Ce qui est contradictoire avec nos hypothèses: (a, b) = 1.	2a est premier avec a – 3 b et avec a + 3b
Supposons qu'un nombre premier k plus grand que 3 divise à la fois ces deux expressions.	Si k > 3 divise a – 3b et a + 3b Alors, il divise a – 3b + a + 3b = 2a et il divise a + 3b – (a – 3b) = 6b. Ce qui est impossible car il faudrait qu'il divise 2a et 6b. Or k vaut 4 ou plus et il donc devrait diviser a et b, nombres premiers etre eux. a – 3b et a + 3b ne sont pas divisibles par un premier supérieur à 3, ni par 2 comme nous l'avons vu.
Reste à montrer que 3 ne divise pas ces deux expressions.	Si k = 3 divise a – 3b et a + 3b. Alors, il divise a – 3b + a + 3b = 2a. Puisqu'il divise 2a, il divise a et aussi p = a^3 – 9ab² = a(a² – 9b²). Si k = 3 divise p, il divise aussi: p² + 3q². On aurait: 2p et p² + 3q² divisible par 3, or ils sont premiers entre eux. Donc 3 ne peut pas diviser a – 3b et a + 3b à la fois.

Les conditions sont réunies pour appliquer le théorème sur le produit des cubes	I^3 = 2p = 2a (a – 3b) (a + 3b) Les facteurs sont bien PEE.
Dans notre expression de 2p chacun des facteurs est donc un cube.	2p = I^3 = 2a (a – 3b) (a + 3b) A^3 = 2a B^3 = a – 3b C^3 = a + 3
Or cela constitue une solution de l'équation de Fermat avec n = 3.	A^3 = 2a B^3 + C^3 = a – 3b +a + 3b = 2a A^3 = B^3 + C^3
Cette solution est plus petite car, tout seul, z est plus grand que le produit des trois nouveaux cubes. Étant tous des nombres entiers, z est plus grand qu'au moins l'un des nouveaux nombres A, B ou C.	(A^3) (B^3) (C^3) = 2p Or z^3 = 2p (p² + 3q²) z^3 = (A.B.C)^3 (p² + 3q²) z = (A.B.C) K avec K > 1 Note: au pire, avec A = B = C = p = q = 1, z = > A ou B ou C.
Fin de la démonstration pour PGCD = 1.

Cas PGCD = 3
Ce que nous savons 2p (p² + 3q²) est un cube. p et q sont positifs, premiers entre eux et de parités opposées. Ce qu'il faut démontrer Si PGCD (2p, p² + 3q²) = 3, alors il doit exister une solution plus petite: x^3 + y^3 = z^3 A^3 + B^3 = C^3 Démonstration
Montrons que:	Si PGCD ( 2p, p² + 3q²) = 3 Alors PGCD (3² . 2 s, 3s² + q²) = 1 avec p = 3s.
Première remarque sur p et q.	PGCD (2p, p² + 3q²) = 3 3 divise 2p donc p, 3 divise p² et 3q. 3 ne divise pas q car p et q sont premiers entre eux.
Alors:	Disons que p = 3s, alors: 2p (p² + 3q²) = 6s (9s² + 3q²) = 3² . 2s (3s² + q²)
(3s² + q²) n'est pas divisible par 2.	3 ne divise pas q donc pas (3s² + q²), car 3s² est divisible et il faudrait que q le soit, or il ne l'est pas. p = 3s p et s sont de même parité. (car: 3 fois pair = pair et 3 fois impair = impair). Or, q est de parité opposée à p et donc aussi avec s. En analysant les deux cas possibles: (3I +P²= I et 3P+I² = I): 3s + q² est toujours impair, donc non divisible par 2.
Les facteurs de notre produit (3² . 2s) et (3s² + q²) sont premiers entre eux.	Nous avons (hypothèses): (p, q) = 1 Et p = 3s et aussi 3 ne divise pas q (s, q) = 1 Conséquences, (s, q²) =1 (s, s² + q²) = 1 Et, en sachant que q n'est pas divisible ni par ni par 3: (3² . 2 s, 3s² + q²) = 1

Les conditions sont réunies pour appliquer le théorème sur le produit des cubes	K^3 = 2p (p² + 3q²) = (3² . 2s) (3s² + q²) Les facteurs sont bien PEE. Notez qu'ici il s'agit de K alors que ci-dessus nous avions pris I.
Donc, deux nouveaux cubes.	2p (p² + 3q²) = 3² . 2 s (3s² + q²) = K^3 3² . 2 s et 3s² + q² sont des cubes.
Nouvelle équation du type E223 avec ses solutions. Note: nous avions déjà une équation de ce type qui nous a donné les pq; en cascade, en voici une nouvelle en ab.	3s² + q² = u^3 avec (q, s) = 1 et de parités opposées. q = a^3 – 9ab s = 3a^2b – 3b^3 (a, b) = 1
Parité.	q et s étant parités opposée, a et b le sont aussi. Voir Démonstration

Nous allons montrer que 2b, a-b et a+b sont des cubes.	en établissant d'abord que les 3 termes sont premiers entre eux.
Somme et différence de a et b.	a et b sont de parités opposées, alors: a + b et a – b sont impairs (non divisible par 2). a et b sont premiers entre eux et de parités opposées, alors (a + b) et (a – b) sont. Voir Démonstration
Cas de 2b	a et b sont premiers entre eux. b est premier avec leur somme et leur différence. Somme et différence sont impaires. 2 est premiers avec la somme et la différence. (2b), (a + b) et (a – b) sont premiers entre eux.

Toujours le théorème sur le produit des cubes
Reprise du facteur cube pour mettre en évidence a + b et a – b.	3^2 . 2s est un cube = 3^2 . 2 (3a^2b – 3b^3) = 3^2 . 2 . 3b(a^2 – b^2) = 3^3 . (2b) (a + b) (a – b)
Les facteurs sont premiers entre eux, ce sont tous des cubes.	2b = A^3 a + b = B^3 a – b = C^3
Ce qui veut dire que: À 2b on ajoute et on retranche a. Et, on reprend les cubes que nous venons de trouver.	A^3 = 2b = (a + b) – (a – b) A^3 = C^3 – B^3 Il y a donc une nouvelle solution à l'équation de Fermat avec n = 3.
C'est une solution plus petite. Tous les termes étant des nombres entiers positifs.	C^3 = a + b < s = (3b) (a + b) (a – b) < 3s = p < 2p .(p² + 3q²) qui vaut z^3
Descente infinie	On pourrait poursuivre et trouver une solution encore plus petite, ce qui est impossible. Ce qui prouve que l'équation de Fermat pour n= 3 n'a pas de solution.
Fin de la démonstration pour PGCD = 3

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