NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/12/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Incroyable ! Cubes et le nombre 6 >>> Nombres cubes >>> Cubes et table de multiplication >>> Propriétés des cubes comparées aux carrés >>> Cubes de nombres consécutifs >>> Calcul des cubes >>> Différences de cubes = produit de cubes >>> Divisibilité des cubes >>> Produits de cubes >>> Cubes et sommes de cubes voisins des multiples de 9 >>> Nombres de Dudeney >>> Quantité de même chiffre dans un cube >>> Nombres d'O'Halloran

Humour

Voir Humour Source images Envision sur une idée de Joyreactor

NOMBRES CUBES Nombres géométriques à la puissance trois. Un cube est un nombre multiplié trois fois par lui-même. Notation: n^3. Ex: 10^3 = 10 x 10 x 10 = 1000 5^3 = 5 x 5 x 5 = 125
Volume d'un cube	Perfection cubique! 27 + 64 + 125 = 216

Voir Cubes en géométrie / Formule de perfection cubique / Pépites

Incroyable!

Égalité

Seuls trois nombres sont égaux à leur cube:

Nombre et son cube

Un nombre diffère de son cube par un multiple de 6.

C'est le cas pour toutes les puissances impaires.

Une application inattendue des identités remarquables. En effet:

n³ – n = n (n² – 1) = n (n – 1) (n + 1) = (n – 1) n (n + 1)

Le cube diminué du nombre est égal au produit de ce nombre par ses deux voisins. C'est surtout le produit de trois nombres consécutifs.

Parmi eux, il s'en trouve toujours au moins un divisible par 2 et un divisible par 3. Le produit est divisible par 6.

Exemples

2³ – 2 = 6

10³ – 10 = 990 = 6 x 165

12³ – 12 = 1 728 – 12 = 1 716 = 6 x 286

2⁵ – 2 = 30 = 6 x 5

10⁷ – 7 = 9 999 990 = 6 x 1 666 665

Exemple de calcul mental de cube

11³ = 10 x 11 x 12 + 11 = 1320 + 11 = 1331

À noter aussi cette autre affinité avec le nombre 6:

La différence troisième des cubes est égale à 6.

Parité

Un nombre et ses puissances sont de même parité.

Suite >>>

Divisibilité

Le cube d'un nombre n, augmenté d'une unité,

est divisible par n + 1.

Justification: n³ + 1 = (n + 1) (n² – n + 1)

Exemple: 8 + 1 = 2³ + 1 = 3 x (4 – 2 + 1) = 3 x 3

Applications "remarquées" des identités remarquables

Cubes successifs

La différence entre deux cubes successifs (+n1) et n est égale à la somme de nombres successifs jusqu'à 3n + 1, en retirant les multiples de 3.

Écart	Valeur		Identité	Somme partielle
2^3 – 1^3	= 8 – 1	= 7	= 1² + 1 x 2 + 2²	= 1 + 2 + 4
3^3 – 2^3	= 27 – 8	= 19	= 2² + 2 x 3 + 3²	= 1 + 2 + 4 + 5 + 7
4^3 – 3^3	= 64 – 27	= 37	= 3² + 3 x 4 + 4²	= 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10

Voir Application avec le crible de Moessner

L'identité indiquée est la suivante: (n+1)³ – n³ = n³ + n(n+1) + (n+1)³ = 3n² + 3n + 1

La somme partielle, déduite des multiples de 3, conduit au même résultat:

Voir Nombres de Lucas-Carmichael

NOMBRES CUBES
Exemple de disposition de billes rangées dans un cube, en quatre couches de quatre par quatre billes: 4 x 4 x 4 = 4^3 = 4 x 16 = 64
Les unités d'un nombre et de son cube sont les mêmes (en rouge), sauf pour 2, 3, 7 et 8 (en bleu) où les unités ajoutées donnent 10. Suite >>> Idée de dénombrement Il y a quatre cubes inférieurs à 100 et la somme de deux d'entre eux est toujours inférieure à 100, sauf pour 4^3 + 4^3 = 64 + 64 = 128. En prenant deux carrés parmi 4, on trouve la quantité de sommes possibles inférieures à 100, à condition de lui retirer un. Ce sont: 2, 9, 28, 65, 16, 35, 72, 54, 91. Avec 500, il y a 7 cubes et deux sommes qui dépassent 500 (6^3 + 7^3 = 559 et 7^3 + 7^3 = 686) Avec 1000, on trouverait : 41, avec 14 débordements.

Voir Calcul mental de la racine cubique / Dénombrements (p-suite)

Curiosité

Énigme

Quel est le nombre dont le carré du tiers est égal au triple du nombre ?

C'est 27, car (27/3)² = 81 et 3 x 27 = 81. Notez que 27 = 3³.

Solution générale

Courbe présentant la vitesse d'évolution comparée des carrés (rouge) et des cubes (vert):

Voir Table des cubes et somme de cubes

CUBES et table de multiplication
Table de multiplication On peut trouver les cubes dans la table de multiplication. Exemple: 2^3 = 2 + 4 + 2 = 8 Ils se nichent dans une équerre, appelée gnomon. Remarquez la symétrie des calculs des cubes dans les gnomons. Il commence par n, se poursuit avec les multiples de n, et finit, n cases plus loin, avec n².

PROPRIÉTÉS des CUBES comparées aux carrés
Carrés et cubes comme sommes d'impairs

Voir Identité impair, carré et cubes / Somme des impairs

Somme des cubes

Propriété surprenante qui est en fait générale

Voir Phénoménal 100

Les cubes sont aussi somme des nombres hexagonaux centrés successifs

n³ = 1 + 7 + 19 + … + Hc_n-1 + Hc_n

Voir Démonstration / Triangulaires (T_n) / Somme des cubes en trois / Différence entre carrés

CUBES de NOMBRES CONSÉCUTIFS Trucs de calcul rapide
Un nombre (n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 (n – 1)^3 = n^3 – 3n^2 + 3n – 1	3^3 = (2 + 1)^3 = 2^3 + 3x2^2 + 3x2 + 1 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27 9^3 = (10 – 1)^3 = 10^3 – 3x10^2 + 3x10 – 1 = 1000 – 300 + 30 – 1 = 729
Deux nombres (n + 1)^3 + n^3 = 2n^3 + 3n^2 + 3n + 1 (n + 1)^3 – n^3 = 3n^2 + 3n + 1	4^3 + 3^3 = 2x27 + 3x9 + 3x3 + 1 = 54 + 27 + 9 +1 = 91 11^3 + 10^3 = 3x100 + 3x10 + 1 = 300 + 30 + 1 = 331
Deux nombres avec écart de 2 (n-1)^3 + (n+1)^3 = n^3 – 3n^2 + 3n – 1 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = 2n^3 + 6n (n + 1)^3 – (n – 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 – n^3 + 3n^2 – 3n + 1 = 6n² + 2	9^3 + 11^3 = 2x10^3 + 6x10 = 2 060 6^3 - 4^3 = 6x5² + 2 = 152
Trois nombres (n – 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = n^3 – 3n^2 + 3n – 1 + n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = 3n^3 + 6n = 3n (n^2 + 2)	9^3 + 10^3 + 11^3 = 30 (100 + 2) = 3000 + 60 = 3060
Quatre nombres (centraux identiques) (n-1)^3 + n^3 + n^3 + (n+1)^3 = n^3 – 3n^2 + 3n – 1 + n^3 + n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = 4n^3 + 6n = 2n (2n^2 + 3)	5^3 + 6^3 + 6^3 + 7^3 = 12 (2 x 36 + 3) = 12 x 75 = 900

Voir Nombres consécutifs / Calcul des cubes

Différences de carrés = produit de cubes
Recherche des cas tels que: Cube = différence de carrés = produit de deux cubes dont la somme et la différence sont celles des nombres soustraits. Exemples de lecture de la table: 14^2 – 13^2 = 196 – 169 = 27 = 3^3 = 3^3 x 1^3 & 14 + 13 = 27 et 14 – 13 = 1 36^2 – 28^2 = 1296 – 784 = 512 = 8^3 = 4^3 x 2^3 & 36 + 28 = 64 et 36 – 28 = 8. Table pour a et b jusqu'à 1000 et n < 101

Voir Différence de carrés = produit de carrés

Divisibilité des cubes

Quels sont les restes possibles de la division d'un cube par un nombre de 2 à 13? Dans le cas de la division par 2, si le nombre est pair (2k) le cube est pair; si le nombre est impair (2k + 1), le cube est impair. Le cube conserve la parité. Dans le cas de la division par 3, le reste est égal à {0, 1 ou 2} et le reste de la division par 3 du cube est {0, 1 ou 2}. Le cube conserve le reste. On dit que: a^3 = a mod 3. Dans le cas de la division par 4, selon le reste {0, 1, 2 ou 3}, le reste de la division du cube par 4 donne seulement {0, 1, 3} que l'on peut écrire {-1, 0, +1} car -3 est équivalent à 1 dans le monde des "modulos". On note a^3 = {0, 1} mod 4. Tableau: colonne bleue = reste de la division par n (rouge) du cube pour un nombre donnant le reste indiqué à gauche La division par 7 et par 9 des cubes est à noter: les restes sont nuls ou plus ou moins 1. Autrement dit: Un cube est un multiple de 7 ou un multiple de 7 plus ou moins 1. Un cube est un multiple de 9 ou un multiple de 9 plus ou moins 1. Voir Preuve par 9 Exemples

Suite Cubes en modulo / Voir Divisibilité

Cube produit de cubes
Ce qu'il faut démontrer Rappel: (A, B) = 1 est la forme abrégée de PGCD (A, B).	Si A . B = C = c^3 Et (A, B) = 1 Alors A = a^3 et B = b^3
La factorisation première d'un cube est telle que tous les exposants sont des multiples de 3
Factorisation de A et B
A et B sont premiers entre eux. Les facteurs premiers de A (qi) et ceux de B (ri) sont distincts. Chacun de manière indépendante égale un facteur premier de C (pi).	pi = {qi ou ri }
Ces égalités entre facteurs premiers entraînent celles sur les exposants.	bi = certains 3ai ci = les autres 3ai
Dans A comme dans B les exposants sont des multiples de 3.	A et B sont des cubes

Voir Démonstration de Fermat pour n = 3

Cubes et multiples de 9
Un cube divisé par 9 donne un reste égal à 0 ou 1 ou 8. Les nombres cubes (jaune) sont tous multiples de 9 (9k) ou voisin d'un multiple de 9.		On lit: un cube est égal à un multiple de 9 ou alors à un multiple 9 plus 1 ou à un multiple de 9 moins 1. En maths on dit: un cube est égal à -1 ou 0 ou 1 modulo 9.
La somme de deux cubes n'est jamais de la forme 9k 3 et 9k 4 Divisé par 9, le reste n'est jamais: 3, 4, 5 ou 6.
La somme de trois cubes n'est jamais de la forme 9k 4 Divisé par 9, le reste n'est jamais: 4 ou 5

Voir Somme de cubes / Nombre 33 - Récalcitrant

Cubes mod 9 (suite)

Un cube divisé par 9 donne un reste de 0, 1 ou 8 ou, en formule:

Cube et somme de cubes mod 9:

Un nombre en 9k + 4 ou 9k + 5 n'est jamais somme de trois cubes.

Voir Explications / Modulo des cubes

Devinette avec somme de trois cubes

Question Quelle sont les solutions de a^3 + b^3 + c^3 = 2 020 ? Solution 2 020 4 mod 9 Avec n^3 {0, 1, -1}, il est impassible d'ajouter trois cubes pour atteindre le 4 de 2 020. Donc aucune solution. Commentaires D'une manière générale, aucune solution pour tout nombre congru à 4 ou 5 mod 9. Mais aucune garantie de trouver une solution pour les autres nombres comme le montre le tableau. De 2 000 à 2 050, il ya seulement 5 solutions dont une double pour 2 008. Il y en a 9 dont une solution double pour l'autre moitié (2 050 à 2 100).

Nombres de Dudeney
Nombre cube dont la somme des chiffres est la racine cubique du nombre. Hors le trivial cas du 1, ils sont cinq. Henry Dudeney (1857-1930).
Nombres généralisés de Dudeney avec le carré	81 = 9²
Avec le bicarré
Avec la puissance 5	17 210 368 = 28^5 52 521 875 = 35^5 60 466 176 = 36^5 205 962 976 = 46^5
Les plus grands pour les puissances successives On a vu 81 pour le carré, 19 683 pour le cube, etc.	9, 81, 19683, 1679616, 205962976, 68719476736, 6722988818432, 248155780267521, 150094635296999121, 480682838924478847449, 23316389970546096340992, 2518170116818978404827136, 13695791164569918553628942336, 4219782742781494680756610809856, …

Voir Suite en puissance de la somme des chiffres / Nombre 512

Quantité de même chiffre dans un cube

Plus petit nombre au cube avec quatre chiffres k

Exemple: 715³ = 365 525 875 avec quatre fois le chiffre"5".

k = 1 => 106 k = 2 => 587 k = 3 => 477 k = 4 => 164 k = 5 => 715

k = 6 => 716 k = 7 => 173 k = 8 => 436 k = 9 => 998

Chaque lien donne accès à d'autre quantité de chiffres.

Voir Cubes avec records de 3 et autres puissances /

Cubes avec chiffres répétés / Nombres apocalyptiques

Cube et nombres retournés

Cube avec nombres ajoutés à leur retourné. Testé jusqu'à 100 000

2^3 = 8 = 4 + 4 7^3 = 343 = 122 + 221 = 320 + 23 11^3 = 1 331 = 1 030 + 301 = 1 120 + 211 = 1 210 + 121 = 1 300 + 31

55^3 = 166 375 = 67 199 + 99 176 = 68 189 + 98 186 = 69 179 + 97 196 = 77 198 + 89 177 = 78 188 + 88 187 = 79 178 + 87 197 = 87 197 + 79 178 = 88 187 + 78 188 = 89 177 + 77 198 = 97 196 + 69 179 = 98 186 + 68 189 = 99 176 + 67 199

Voir Nombre 7 / Nombre 11

Nombres d'O'Halloran

Ce sont des nombres pairs (> 4) qui ne sont pas la surface d'un cube.

Ils ne peuvent pas être de la forme: n = 2(ab + bc + ca)

Ils sont seize:

8, 12, 20, 36, 44, 60, 84, 116, 140, 156, 204, 260, 380, 420, 660, and 924.

Les solutions pour 6 à 50

CUBES	Cubes en tant que nombres figurés Introduction aux nombres figurés 33 = somme de trois cubes ? Boucle en cubes Calcul des cubes – Mental ou rapide Calcul des cubes – À la main Cubes à chiffres répétés Cubes en modulo (divisibilité des cubes) Cubes et initiation aux dérivées Cubes palindromes Cubique d'Agnesi Formation des cubes avec le crible de Moessner Formule de perfection cubique Nombres avec facteur au cube (cubefree) Nombres doublement cube Nombres plaqués et cubes Partitions en cubes Problème des trois cubes Propriétés des cubes Quantités de triangles dans le triangle = cube Signature des cubes Somme de k cubes Somme de deux cubes jamais cube (Fermat) Somme des chiffres du cube = cube Somme des cubes de nombres consécutifs Somme des pairs et des impairs consécutifs au cube Somme des trois cubes Table des cubes et somme de cubes Théorème de Fermat pour les cubes Trois cubes – Problème de la somme des - Cubes en géométrie Cubes en géométrie Cube de Rupert Cube de Necker
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Site	OEIS A061209 - Numbers which are the cubes of their digit sum OEIS A061211 - Largest number m such that m is the n-th power of the sum of its digits
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