NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/07/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page SOMME des >>> CARRÉS >>> CARRÉS – Courbes >>> CARRÉS – Empreinte

Comprendre les sommes de carrés
Ici, on analyse les nombres selon des sommes de carrés. Cette page est consacrée au comportement du "poids" des carrés. Comment un carré contribue à augmenter une somme de carrés À la manière d'un nouveau poids sur un plateau d'une balance.	5 = 1² + 1² + 1² +1² + 1² 5 = 2² + 1²

SOMME des CARRÉS

Cherchons à voir comment se comportent les nombres successifs face à la somme de carrés. Rappel de la liste des carrés N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … N² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Chacun de ces nombres ( 1, 4, 9, …) est évidemment somme de un seul carré. À ces nombres, on peut toujours ajouter des carrés. 2 = 1² + 1² il faut deux carrés. 3 = 1² + 1² + 1² il en faut trois. 4 = 2² on revient à un seul carré. 5 = 2² + 1² de nouveau, il en faut deux. Etc. Visualisons la chose: Il faut un minimum de 4 carrés pour obtenir une partition de 7. Question que l'on se pose: 4 carrés sont-ils suffisants lorsqu'on passe à des valeurs plus grandes de N ? Réponse: OUI.

Voir Nombres carrés

SOMME des CARRÉS – Courbes

On va prendre chaque nombre et le "peser" avec les carrés. La courbe S4 donne le nombre N comme une somme de 4 = 2² et de 1 =1². La courbe S9 donne le nombre N comme une somme de 9 = 3², 4 = 2² et de 1 =1². Etc. Pour chaque courbe, on met le plus possible de gros poids. Exemple pour 10 avec S4 : 10 = 8 + 2 = 2.2² + 2.1² => quatre carrés. avec S9 : 10 = 9 + 1 = 1.3² + 1.1² => deux carrés. On trouve bien ces deux valeurs 4 et 2 sur la verticale passant en 10. Quantité de carrés en fonction de N Oui! Les courbes tricotent. Et, ce n'est pas la plus nouvelle qui donne forcément le moins de carrés. Exemple 18 = 2.3² Deux carrés seulement avec S9. 18 = 1.4² + 2.1² Trois carrés avec la nouvelle courbe (plus pesante) en S16.

SOMME des CARRÉS – Empreinte

Quelles sont toutes les possibilités de décomposer un nombre en somme de carrés?

On va partir de celle qui comporte les plus gros "poids" possibles. La méthode est assez simple.

Poids des carrés	Combien de fois ce carré	Avec l'exemple: N = 39
36	x 1	Il reste (39 – 36) = 3
25
16
9
4
1	x 3	Il reste 0
Quantité totale de carrés	4	Minimum 4 carrés pour 39

39 = 6² + 1² + 1² + 1²

On peut évidemment ne pas prendre le "poids" le plus fort.

Poids des carrés	Combien de fois ce carré	Avec l'exemple: N = 39
36	x 0	Il reste 39
25	x 1	14
16	x 0	14
9	x 1	5
4	x 1	1
1	x 1	0
Quantité totale de carrés	4	Encore 4 carrés pour 39

39 = 5² + 3² + 2² + 1²

Notez qu'il s'agit ici d'une somme de carrés distincts.

Autre possibilité:

Poids des carrés	Combien de fois ce carré	Avec l'exemple: N = 39
36	x 0	Il reste 39
25	x 0	39
16	x 2	7
9	x 0	7
4	x 1	3
1	x 3	0
Quantité totale de carrés	6	Ici, il faut 6 carrés pour 39

39 = 4² + 4² + 2² + 1² + 1² + 1²

Ne pas mettre un poids, c'est mettre son équivalent en poids inférieurs

Ne pas mettre 16, c'est mettre l'équivalent 9 + 4 + 3

Ne pas mettre 25, c'est mettre l'équivalent 16 + 9

Ne pas mettre 36, c'est mettre l'équivalent 25 + 9 + 2

Et d'une manière générale, cela correspond au tableau suivant

Que nous appellerons l'empreinte des carrés (ou la matrice).

Empreinte des carrés

	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
81										1
64									1
49								1
36							1
25						1
16					1				1	1
9				1	1	1	1	1
4			2	1			1	1
1		4	1	3		2		2	1	3

Utilisation de l'empreinte pour trouver de nouvelles sommes de carrés

Voyons ce que nous pouvons faire avec N = 39, par exemple:

Poids	Présentations (lire la somme par colonne)
36
25		1.5²	1.5²
16	1.4²			1.4²	2.4²
9		1.3²	1.3²	2.3²
4			1.2²	1.2²	1.2²
1	3.1²	5.1²	1.1²	1.1²	3.1²
Total	39	39	39	39	39
Qté	4	7	4	5	6

Le nombre 39 peut être décomposé en somme de carrés de toutes ces façons et bien d'autres (50 au total) en poursuivant le tableau jusqu'à 39 fois la somme de 1².

Le tableau montre deux présentations avec 4 carrés.

Voir Table de partitions de quelques nombres en sommes de carrés

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