NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> VALEUR DE " e " >>> RÉDUITES >>> FRACTIONS >>> MNÉMOTECHNIQUE >>> IMAGINAIRE – Relation d'Euler >>> Les constantes e et Pi >>> e puissance e >>> Constante e en pannumérique

CONSTANTE "e"

dite

Constante de Neper ou nombre d'Euler

e est l'initiale de exponentiel et aussi à l'initiale d'Euler.

Anglais: Euler's number, Napier's constant
Allemand: Eulersche Zahl, Napiers Konstante

Espagnol: numero de Euler, constande de Napier

Italien: numero di Eulero, numero di Nepero

e désigne la base du logarithme népérien (ou naturel).

Découvert en 1683 par Jacob Bernoulli en étudiant les intérêts composés.

Depuis août 2020, cette constante est connue avec plus de 31 000 milliards de décimales (David Christie). Proche de 54 jours de calculs !

APPROCHE

Cent premières décimales e = 2, 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 … Notez que: 2,7 est suivi de deux fois 1828. Notez que: 718 + 281 = 999 Record Connu en 1998 avec 50 millions décimales - Patrick Demichel - 714 heures de calculs sur HP 9000/778 Connu en 2018 avec 8 000 milliards de décimales – Gerald Hofmann – 28,5 jours de calculs Fraction continue e = 2,718 … = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8...] C'est Euler qui calcule la fraction continue de la base des logarithmes népériens et constate le développement périodique en 1, 2k, 1. Cette périodicité prouve que e est irrationnel.

VALEUR DE " e "

e = 2, 718 281 …	Valeur de la constante e. Valeur de la fonction Irrationnel Démonstration par Euler en 1739. Transcendant Démonstration par Hermite en 1873.
e = e^1 = exp(1)	"e" pour exponentiel. Baptisé ainsi par Euler. Base des logarithmes naturels ou népériens. Les logarithmes ont été inventés par Neper; Il ne connaissait sans doute pas la base "e".
	En 1683, Jacob Bernoulli , étudiant les intérêts composés doit calculer cette valeur et découvre la constante e. Voir cette fonction

e = 2,7 1828 1828 459 045 235 36... e = 2,718 281 828 45 90 45 235 36...	Curiosités dans les chiffres.
	Newton 1665.
	Somme des inverses des factorielles. C'est la définition de e par Euler. Suite >>>
avec pi < x et premier	Formule produit .
e = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8...]	Fraction continue Répartition régulière en 2n.
e = 2 + 1 / (1 + 1/ (2 + 2/ (3 + 3/ (4 + 4/ (... e = 1 + 2 / (1 + 1/ (6 + (1/ (10 +... 1/2(2n+1) +...	Autres fractions continues, le numérateur étant différent de 1.
87 / 32 = 2,718 7 878 / 323 = 2,718 2 6 2721 / 1001 = 2,718 281 2	Réduites de "e"

(π ^4 + π ^5)^1/6 = 2,718 281 8086…		Septième décimale >>> (Castellanos)
19 / 7 1/1 + 1/2 + … + 1/8		Approximation Approximation
	Approximation avec six décimales due à N. Davidson en 2004.
	Approximation avec six décimales due à E. Pegg Jr en 2002.
	Approximation personnelle à huit décimales obtenue en moins de 5 minutes avec Maple. Il est facile d'en trouver d'autres plus précises. Mais le but est de trouver: Une expression minimale, ou Une expression esthétique.
	Belle approximation avec neuf décimales.
	Approximation pannumérique due à R. Sabey en 2004. Nombre difficilement calculable sans gros moyens !

Fonction exponentielle

Valeurs

n	exp (n)
1	2 , 718281828
2	7 , 389056099
3	20 , 08553692
4	54 , 59815003
5	148 , 4131591
6	403 , 4287935
7	1096 , 633158
8	2980 , 957987
9	8103 , 083928
10	22026 , 46579

Valeurs presque entières

Valeurs avec écart avec un entier décroissant:

1, 3, 8, 19, 45, 75, 135, 178, 209, 732, 1351, 1907, 5469, 28414, 37373, … OEIS A079490

Programme de recherche avec Maple

Digits := 1000; Emx := 1; for n to 1000 do E := abs(evalf(exp(n))-round(exp(n))); if E < Emx then lprint(n, evalf(E, 3)); Emx := E end if end do:

Premières valeurs de exp(n) avec indication des records( en jaune)

PUISSANCE DE " e " avec 20 chiffres

e ^1/5	1 , 2214027581601698339
e ^1/4	1 , 2840254166877414841
e ^1/3	1 , 3956124250860895286
e ^1/2	1 , 6487212707001281469
e ^1	2 , 7182818284590452354
e ^2	7 , 3890560989306502274
e ^3	20 , 085536923187667742
e ^4	54 , 598150033144239081
e ^5	148 , 41315910257660343
e ^6	403 , 42879349273512264
e ^7	1096 , 6331584284585994
e ^8	2980 , 9579870417282751
e ^9	8103 , 0839275753840088
e ^10	22026 , 465794806716520

Voir Calcul des puissances de "e"

FRACTIONS

Il y de nombreuses fractions possibles pour représenter "e".

Voici les plus typiques:

11	/	4
19	/	7
193	/	71
299	/	110
878	/	323
2 721	/	1 001

La fraction 878 / 323 est souvent choisie;

Étant palindromes, ces deux nombres sont faciles à retenir.

Voir Toutes les réduites de "e" et autres fractions

Calculs des réduites

MNÉMOTECHNIQUE

e = 2,718 281 828 4… Français Tu aideras à rappeler ta quantité à beaucoup de docteurs amis Le nombre de lettres de chaque mot donne les chiffres de "e". Cela dit, la répétition 1828 est également facile à retenir sans autre truc. Anglais To express e, remember to memorize a sentence to simplify this Américain By omnibus I traveled to Brooklyn Attention: " travel" est au prétérit et, en américain; il s'écrit "travelled" en anglais. Voir Mnémotechnique

IMAGINAIRE

	Identité d'Euler
	= 23, 140 692 64...
	= 0, 207 879 576...

Voir Puissance de l'imaginaire / Complexes 

Les constantes "e" et "Pi"
	Constante de Gelfond. Nombre transcendant, prouvé en 1929 Il n'est pas nombre de Liouville (Conjecture). Voir Nombres presque-entiers en e^Pi
23, 1406926327 7926900572 9086367948 5473802661 0624260021 1993445046 4095243423 5069045278 3516971997 0675492197 …
	Rationnel ou non? Curiosité de proximité entre ces deux valeurs combinées de Pi et e. Écart de 0, 681… (3%).
22, 4591577183 6104547342 7152204543 7350275893 1513399669 2249203002 5540669260 4039911791 2318519752 7271430316 ….
	Ces nombres sont indépendants (démonstration 1995).
	Approximation du nombre 20.
Historique de Euler connaît implicitement le nombre , déductible de l'identité Hilbert en 1900, le cite explicitement dans son septième problème. Gelfond en 1929, démontre qu'il est transcendant. Nesterenko en 1996, montre que et sont algébriquement indépendants.

E puissance E
Quelques curiosités de chiffres La valeur de e contient 1828 1828; e puissance e = 1515, la date de la bataille de Marignan; (e^e) à la puissance e (environ 15,15 puissance 2,7) = 1618 et quelques, soit 1000 fois le nombre d'or à 0,1 millième près:

Voir Exponentielle d'exponentielle / Puissance de l'imaginaire

Constante e en pannumérique
En 2004, Richard Sabey a trouvé cette formule monumentale pour exprimer e avec les neuf chiffres (pannumérique). Elle donne 18 457 734 525 360 901 453 873 570 = 1,84 … 10^25 décimales
Explications avec la valeur de e
Et avec N exprimé sous deux formes avec cette propriété des exposants: 3^2p = 9^p, exploitées deux fois.
En se souvenant que l'inverse d'une puissance est une puissance négative.

Voir Pi en pannumérique

Décimales formant des nombres premiers
Le quatre plus petits nombres premiers formés à partir de e 2, 271, 2 718 281, 27182 8182845904 5235360287 4713526624 9775724709 3699959574 9669676277 2407663035 3547594571 = 0,27183 10^85 (85 chiffres) DicoNombre: nombre 2, 271, 2 718 281	Facteurs pour les dix premiers nombres formés avec e 2, 2, 2 7, 27, 3^3 1, 271, 271 8, 2718, 2 x 3^2 x 151 2, 27182, 2 x 13591 8, 271828, 2^2 x 67957 1, 2718281, 2718281 8, 27182818, 2 x 13 x 1045493 2, 271828182, 2 x 3 x 45304697 8, 2718281828, 2^2 x 97 x 179 x 39139
Programme Maple		Commentaires Initialisation. Quantité de chiffres demandée en p. Digits permet de travailler avec une précision de p chiffres. Calcul d'un nombre e avec p chiffres sans la virgule. Convert rational forme un nombre entier sans virgule. Conversion (convert) pour disposer des chiffres dans une liste et inversion (seq) de la liste. Analyse des nombres avec de plus en plus de chiffres de e dans c. Les chiffres successifs sont les i tirés de N. Si le nombre c est premier, l'imprimer. En bleu, résultat du traitement.

Voir Programmation – Index / Brève 427

Nombres premiers formés avec k décimales de e

Exemple: k = 3 donne 271 avec 1 la troisième décimale

k = 4 avec 4523 avec 3 la quatorzième décimale

Suite	Calcul de "e" Propriétés de "e" Spectre de "e" Approximations de "e" par des racines Graphe avec certaines valeurs de e La machine Ramanujan
Voir	Cercle Constantes Constantes de l'univers  Constantes Mathématiques Exponentielles Exponentielles – propriétés	Exposants Index Nombre 2^rac(2) Nombre d'or Oméga (constante) Pi Théorie des nombres
DicoNombre	Constante " e " Nombre 22, 45 … Nombre 23, 14 … Nombre 2, 678, factorielle généralisée
Sites	e Constant – Wolfram MathWorld e Approximations – Wolfram MathWorld Mathematical Constants - Billions of Digits de Alexander J. Yee Numberphile – Exponentielle
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/ExpoVal.htm