NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Nature / Structure

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

INDEX

 

Carrés magiques

   Ordres

   Constructions

 

Magie

Jeux de grilles

Jeux et énigmes

Débutant

Introduction

Type

Ordre 3

Nomenclature

Panmagique

Associatif

Antimagiques

Complémentaire

Gigogne

Antimagiques - R

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définitions

>>> Carré 2 x 2

>>> Carré 3 x 3

>>> Carré 4 x 4

 

 

 

CARRÉS ANTIMAGIQUES - Variante

  

Les carrés antimagiques utilisent tous les nombres de 1 à n².

Ici, nous allons utiliser les nombres les plus petits possibles, même répétés.

 

 

EN BREF

Valeurs

Magiques

Antimagiques

Variante

Antimagiques

Véritables

des CELLULES

Consécutives & minimales

Les plus identiques possibles

Consécutives & minimales

des SOMMES

Identiques

Consécutives & minimales

Consécutives & minimales

Voir

>>>

>>>

>>>

 

 

 

 

APPROCHE

 

*    Observons le carré de 6 x 6 ci-contre.

*    Les sommes sur les lignes et sur les colonnes donnent tous les nombres de 6 à 17.

*    Est-ce un carré antimagique ?

*    Non! Car les sommes sur les diagonales donnent des nombres déjà utilisées: 9 et 12.

*    Peut-on faire mieux ?

 

1

1

1

1

1

1

6

 

1

1

1

1

1

3

8

 

1

1

1

1

3

3

10

 

1

1

2

3

3

3

13

 

1

2

3

3

3

3

15

 

2

3

3

3

3

3

17

9

7

9

11

12

14

16

12

 

Pas antimagique

*    Voyons un carré 2 x2.

*    Nous y trouvons toutes les sommes de 3 à 8

*    Est-ce un carré antimagique ?

*    Ce serait mieux si les sommes s'étalaient de 2 à 7.

 

1

2

3

 

3

5

8

5

4

7

6

 

Pratiquement antimagique

*    Voici un carré antimagique de 3 x 3.

*    Toutes les sommes de 3 à 10.

 

1

1

1

3

 

1

2

4

7

 

3

1

5

9

6

5

4

10

8

 

Antimagique - variante

 

  

DÉFINITIONS

 

*    Carré antimagique- variante: carré dont toutes les lignes, colonnes et diagonales donnent des sommes différentes, mais consécutives à partir de N, le côté du carré.

 

*    Pour remplir les cases du carré, on utilise un minimum de chiffres, répétés un maximum de fois

 

 

 

 

FAISONS UN POINT

Somme:

a

b

PAM

m

n

CAM

sur lignes

X

X

X

X

X

X

sur colonnes

X

X

X

X

X

X

consécutives sur lignes et colonnes

 

X

X

X

X

X

sur diagonales

 

 

 

X

X

X

consécutives partout

 

 

 

 

X

X

consécutives à partir de N

 

 

X

 

 

X

*    Les six colonnes représentent chacune un type de carré qui pourrait être antimagique.

*    Seuls deux types ont  vraiment de l'intérêt:

*    PAM: Pseudo antimagique

*    CAM: Carré antimagique variante (noté avec *)

 

  

 

CARRÉ 2 x 2 – Ordre 2

*    Carré antimagique* d’ordre 2.

*    Utilisation des " 1 "

*    Bien sûr, ça ne marche pas.

 

1

1

2

 

1

1

2

2

2

2

2

*    Autre tentative.

*    OK pour lignes et colonnes, mais pas pour les diagonales

 

1

2

3

 

3

3

6

5

4

5

4

*    Le premier presque antimagique possible.

*    Toutes les sommes de 3 à 8.

 

1

2

3

 

3

5

8

5

4

7

6

*    Il en existe 8 comme ça.

*    Les cellules sont baptisées a1, a2, b1 et b2.

a1

a2

b1

b2

1

3

5

2

1

5

3

2

2

3

5

1

2

5

3

1

3

1

2

5

3

2

1

5

5

1

2

3

5

2

1

3

*    Encore une autre tentative

*    Toutes les sommes de 4 à 9

*    Mais, on ne trouve pas de sommes consécutives partant de 2.

*    Il n’y a pas d'antimagique* véritable d'ordre 2.

 

1

3

4

 

4

5

9

7

5

8

6

 

 BILAN

Chiffre jusqu'à:

a

b

PAM

m

n

CAM

1

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

3

16

8

8

0

0

0

4

88

48

8

0

0

0

5

280

96

8

48

16

8*

*presque (sommes de 3 à 8 et non 2 à 7)

 

 

 

CARRÉ 3 x 3 – Ordre 3

*    Premier possible.

*    Il faut aller jusqu'à 4.

*    Sommes non consécutives : 3, 4, 5, 6, 7 & 11.

*    Et, pas vrai pour les diagonales.

*    Il est donc presque PSEUDO.

 

1

1

1

3

 

1

1

2

4

 

3

4

4

11

5

5

6

7

6

*    Un autre du même type.

*    Sommes : 3, 4, 5, 6, 7 & 9.

*    Manqué à un près!

 

1

1

1

3

 

1

1

3

5

 

2

4

3

9

4

4

6

7

5

*    Premier carré antimagique*.

*    Il faut aller jusqu'à 5.

 

1

1

1

3

 

1

2

4

7

 

3

1

5

9

6

5

4

10

8

*    Deuxième exemple de carré antimagique*.

*    Il en existe 176.

 

1

1

1

3

 

1

2

5

8

 

2

3

4

9

5

4

6

10

7

 

 BILAN pour l'ordre 3

Chiffre jusqu'à:

a

b

PAM

m

n

CAM

1

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

4

6 624

0

0

0

0

0

5

149 688

>0

0

6 816

>0

176

 

 

 

 CARRÉ 4 x 4 – Ordre 4

*    4 x 4 Pseudo

1

1

1

1

4

1

1

1

3

6

1

2

3

3

9

2

3

3

3

11

6

5

7

8

10

8

*    4 x 4 Pseudo

1

1

1

1

4

1

1

1

2

5

1

2

3

4

10

3

4

2

2

11

7

6

8

7

9

7

*    4 x 4 Antimagique*

1

1

1

1

4

1

1

1

2

5

2

3

4

4

13

2

3

3

4

12

7

6

8

9

11

10

  

 BILAN pour l'ordre 4

Chiffre jusqu'à:

a

b

PAM

m

n

CAM

1

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

3

 

 

2 496

 

 

0

4

 

 

99 504

 

 

852

5

 

 

> 100 000

 

 

> 50 000

 

 

 

 

Suite

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*      Carrés magiques – Index

Voir

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*    The anti-magic square project

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