carrés magiques 3x3 sommes et produits

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	Carrés magiques
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Carré magique 3 x 3

Propriétés

Propriétés générales du carré 3x3 >>>

Formules du carré magique 3 x3 >>>

Propriétés des sommes de produits >>>

Résolution des équations du carré magique 3x3 >>>

Retour Carré magique ordre 3

SOMMES et Produits – Constat

Soit le carré magique suivant

6	1	8
7	5	3
2	9	4

La somme des produits par 3 en horizontal vaut celle en vertical

6x1x8 + 7x5x3 + 2x9x4 = 48 + 105 + 72 = 225

6x7x2 + 1x5x9 + 8x3x4 = 84 + 45 + 96 = 225

La somme des produits par 2 en horizontal vaut celle en vertical

6x1 + 6x8 + 1x8 + 7x5 + 7x3 + 5x3 + 2x9 + 2x4 +9x4 = 195

6x7 + 6x2 + 7x2 + 1x5 + 1x9 + 5x9 + 8x3 +8x4 + 3x4 = 195

Est-ce un hasard?

Formules

Formules d'Édouard Lucas

X = a + b	Y = a – b – c	Z = a + c
XX = a – b + c	YY = a	ZZ = a + b – c
XXX = a – c	YYY = a + b + c	ZZZ = a – b

PRODUITS par 3

Calculons

* est le signe multiplier pour ne pas confondre avec x;

^ est le signe puissance

E1 = X*Y*Z+XX*YY*ZZ+XXX*YYY*ZZZ

E2 = X*XX*XXX+Y*YY*YYY+Z*ZZ*ZZZ

et développons

E1 = (a+b)*(a-b-c)*(a+c)+(a-b+c)*a*(a+b-c)+(a-c)*(a+b+c)*(a-b)

= 3*a^3-3*a*c^2-3*b^2*a

E2 = (a+b)*(a-b+c)*(a-c)+(a-b-c)*a*(a+b+c)+(a+c)*(a+b-c)*(a-b)

= 3*a^3-3*a*c^2-3*b^2*a

Effectivement E1 = E2

PRODUITS par 2

Calculons

E3 = X*Y+X*Z+Y*Z

+ XX*YY+XX*ZZ+YY*ZZ

+ XXX*YYY+XXX*ZZZ+YYY*ZZZ

E4 = X*XX+X*XXX+XX*XXX

+ Y*YY+Y*YYY+YY*YYY

+ Z*ZZ+Z*ZZZ+ZZ*ZZZ

et développons

E3 = (a+b)*(a-b-c)+(a+b)*(a+c)+(a-b-c)*(a+c)

+(a-b+c)*a+(a-b+c)*(a+b-c)+a*(a+b-c)

+(a-c)*(a+b+c)+(a-c)*(a-b)+(a+b+c)*(a-b)

= -3*c^2-3*b^2+9*a^2

E4 = (a+b)*(a-b+c)+(a+b)*(a-c)+(a-b+c)*(a-c)

+(a-b-c)*a+(a-b-c)*(a+b+c)+a*(a+b+c)

+(a+c)*(a+b-c)+(a+c)*(a-b)+(a+b-c)*(a-b)

= -3*c^2-3*b^2+9*a^2

Effectivement E3 = E4

Autres caractéristiques

Avec de la patience, il est possible de trouver d'autres formules, y compris pour les ordres supérieurs.

Section créée sur une idée de JEAN ARTIGUE professeur retraité de l'Éducation Nationale – Merci

Résolution des équations des carrés magiques

Résoudre les équations des carrés magiques

Plusieurs méthodes pour résoudre un carré magique.

Tester les permutations des nombres de 1 à n² pour connaître les cas magiques.

Cette méthode praticable pour n petit (3) est rédhibitoire. Pour n = 4, il y a déjà 880 carrés magiques sur 20 922 789 888 000 permutations (242 jours de calcul à raison d'un million de cas traités à la seconde.

C'est Frénicle de Bessy qui a trouvé ce nombre le premier en 1693. Ce compte exclut les carrés obtenus par rotations et réflexions.

Convay dans son livre Winning Way, propose une méthode recourant aux classes d'équivalence et à diverses transformations.

Méthode sans doute efficace mais réservée aux mathématiciens d'un certain niveau.

Finalement pourquoi ne pas mettre le carré magique en équations et résoudre le système d'équations. Plusieurs possibilités:

1) Résolution classique des équations; ce qui devient vite laborieux.

2) Utilisation de quelques astuces. Par exemple, soustraire une constante pour obtenir une constante magique nulle. Il y a encore plus fin! >>>

3) Utilisation de l'outil matrice et calcul des valeurs propres (eigenvalues) pour accélérer la résolution du système d'équations.

Carrés magiques 3 x 3
Équations	Avec les carrés d'ordre impairs, les sommes peuvent être ramenées à 0 en soustrayant une constante à tous les nombres. Celle-ci est égale à l'élément central soit: (n² + 1) / 2.
Cas n = 3

Résolution	Une manière astucieuse pour résoudre le système d'équations: introduction des valeurs P et Q qui symétrisent les résultats.
Somme des quatre équations impliquant e , l'élément central		d+e+f+b+e+h+a+e+i+c+e+g = 4m a+b+c+d+e+f+g+h + 3e = 4m 3m + 3e = 4m 3e = m
Égalité pour ces quatre cas		d+e+f = b+e+h = a+e+i = c+e+g = m = 3e d+f = b+h = a+i = c+g = 2e
En posant P et Q pour symétriser		a + i = e + e a – e = e – i = P a = e + P i = e – P	c + g = e + e c – e = e – g = Q c = e + Q g = e – Q
En tenant compte des sommes magiques sur les lignes et les colonnes		a + b + c = m = 3e e + P + b + e + Q = 3e b = e – P – Q a + d + g = 3e e + P + d + e – Q = 3e d = e – P + Q	g + h + i = 3e e – Q + h + e – P = 3e h = e + P + Q c + f + i = 3e e + Q + f + e – P = 3e f = e + P – Q
Soit le carré magique avec ses équations

Carrés	Existe-t-il un carré magqiue d'ordre 3 dont les nombres sont des carrés?
Reprise de équations trouvée en indiquant que les nombres sont des carrés	A² = e + P B² = e – P – Q C² = e + Q D² = e – P + Q E² = e	F² = e + P – Q G² = e – Q H² = e + P + Q I² = e – P
En sommant les éléments symétriques => 2 E² = quatre dois somme de deux carrés	A² + I² = B² + H² = C² + G² = F² + D² = 2e = 2E²
Avec les produits => E⁴ est quatre fois somme de deux carrés	A²I² = (E² + P)(E² – P) = E⁴ – P² B²H² = (E² – (P+Q)) (E² + (P+Q)) = E⁴ – (P+Q)² C²G² = (E² + Q)(E² – Q) = E⁴ – Q² F²D² = (E² + (P–Q)) (E² – (P–Q)) = E⁴ – (P–Q)²
Conclusion	À ce stade, les conditions d'obtention du carré magique carré sont sévères. Toujours est-il que l'on ne connait aucun tel carré.
Un solution approchée: somme magique sur toutes les lignes pasant par le centre.

Voir Carrés magiques avec carrés et cubes

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