Somme des nombres avec les chiffres 1, 2, 3 et 4

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/12/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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			S. des nombres en 1234
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SOMME des PERMUTATIONS

avec chiffres de 1 à q

Quelle est la somme de tous les nombres formés avec les chiffres 1, 2, 3 et 4 (par exemple); tous ou seulement les nombres à chiffres distincts ?

Il s'agit de la somme des nombres du type 1234 avec toutes ses permutations.

Le sujet général (avec chiffres répétés ou non) est traité à la page formes permutées.

Approche avec 12 et 123

Chiffres 1 et 2

On peut former quatre nombres: 11, 12, 21, et 22.

Leur somme est 66, et celle des nombres à chiffres distincts est 33.

Chiffres 1, 2 et 3

On peut former 27 nombres e 111 à 333, dont six seulement sont à chiffres distincts.

Dénombrements de la quantité de nombres

Dans le cas de tous les nombres, chaque chiffre peut prendre trois valeurs: Q = 3 x 3 x 3 = 3³ = 27.

Dans le cas de chiffres distincts, le premier peut prendre trois valeurs, le deuxième deux valeurs et le troisième une seule: Qd = 3 x 2 x 1 = 3! = 6.

Calcul de la somme des nombres à chiffres distincts

Le tableau montre comment rapidement faire la somme de ces nombres; méthode pratique pour de plus grandes sommes.

Calcul de la somme de tous les nombres

Formulation et valeurs
Somme des nombres à chiffres distincts Sd = (q – 1)! × 11…11_q × s Avec les chiffres de 1 à q La somme des chiffres est s. Le nombre en "1" contient q fois le "1" (à remplacer par (10^q – 1) / 9 pour une formule calculable directement).	Somme de tous les nombres S = q^{q – 1} × s Avec les chiffres de 1 à q La somme des chiffres est s.
Table de la somme des nombres permutés avec chiffres de 1 à q

Sommes avec les chiffres de 1 à 9
Tous les nombres à trois chiffres distincts parmi les chiffres de 1 à 9. 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, …	Calcul du même type que précédemment impliquant la somme des chiffres 45. Avec trois chiffres le "1 " en première position apparait 8 x 7 fois (le "1" étant choisi, il a 8 possibilités pour le deuxième, puis 7 pour le troisième). Soit le calcul: (8 x 7) x 111 x 45 = 279 720.
Table pour les nombres de 2 à 9 chiffres Le dernier vaut: 45 x 8! x 111 111 111 = 201 599 999 798 400

Problème 126 de 536 Puzzles & Curious Problems de H.E: Dudeney

Ce problème traite de la somme des formes permutées distinctes à quatre chiffres: 1234 + 1243 + … = 66 660

La solution indique que pour les formes permutées distinctes des nombres à quatre chiffres en prenant tous les chiffres de 1 à 9 (et pas seulement de 1 à 4), la somme devient: 6 666 x 2 520 = 16 798 320, avec 2520 = 8 x 7 x 45.