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Édition du: 28/10/2021 |
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INDEX Nombres
(Classification) |
NOMBRES CHANCEUX |
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Josèphe |
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Nombres CHANCEUX d'Euler Quantité
maximale de nombres premiers successifs donnés par le polynôme x² – x + n. |
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Sommaire de cette page >>> Nombres chanceux d'Euler |
Débutants Glossaire |
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Contrairement aux nombres chanceux d'Ulam qui
résultent d'un tri par crible,
ceux d'Euler tient à une propriété
face aux nombres premiers. Nombres n tels que le polynôme x² – x + n prend des valeurs premières pour tout x entier compris entre 0 et n –
1. H.M. Stark (né en 1939) a montré en 1967 qu'il n'en existe pas
d'autres que les cinq indiqués ci-contre, lesquels étaient déjà connus
d'Euler. Sous cette forme, il n'y a donc pas mieux que le polynôme
d'Euler avec n = 41. Le nom a été donné par François Le Lionnais (1901-1984). |
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Voir Euler – Biographie (1707-1783)
Exercice de classe de première
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Problème Avec le polynôme x² – x + 41, pour quelle valeur
de n positive prend-il la valeur 1447, un nombre premier ? Solution Il s'agit d'une équation du deuxième degré: Premier constat: coefficient de x = 1: la somme
des deux racines est égale à 1 = a +
b. L'une vaut a et l'autre 1 – a. La calculette me donne racine de 1406 ≈ 37,
5. Les racines sont 38 et -37. Réponse avec la valeur positive n = 38. Note avec x² + x + 41, les deux
racines seraient 37 et -38 et n = 37. Question subsidiaire: solution de x² – x + 41 = 100 ? Équation: x² – x – 59 = 0 On fait appel au discriminant: (–1)² – 4 x 1 x (–59) = 237 Ce n'est un carré, les racines ne sont pas des
nombres entiers. Valeurs des racines:
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