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Édition du: 13/11/2024 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Types de nombres	Nombres CUBES
	Cubes – Partition	Deux cubes	Trois cubes	Quatre cubes
	Somme = Carré	Deux cubes – Multi

SOMMES de DEUX CUBES n = x^3 + y^3 Sommes de nombres entiers au cube et aussi sommes de rationnels (fractions). Sans ordinateur, Dudeney avait trouvé des solutions en nombres rationnels pour le nombre 9 et pour le nombre 17:
	Sommaire de cette page >>> Sommes de deux cubes – Nombres entiers >>> Les défis de Dudeney >>> Identité de Fermat >>> Géométrie analytique >>> Sommes de deux cubes – Nombres rationnels	Débutants Addition Glossaire Addition

Somme de deux cubes – Nombres entiers

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Les 42 nombres, somme de deux cubes jusqu'à n = 1001 Lecture: 9 = 1^3 + 2^3 = 1 + 8 ; 35 = 2^3 + 3^3 = 8 + 27. Les 202 nombres, somme de deux cubes jusqu'à n = 10 000 2, 9, 16, 28, 35, 54, 65, 72, 91, 126, 128, 133, 152, 189, 217, 224, 243, 250, 280, 341, 344, 351, 370, 407, 432, 468, 513, 520, 539, 559, 576, 637, 686, 728, 730, 737, 756, 793, 854, 855, 945, 1001, 1008, 1024, 1027, 1064, 1072, 1125, 1216, 1241, 1332, 1339, 1343, 1358, 1395, 1456, 1458, 1512, 1547, 1674, 1729, 1736, 1755, 1792, 1843, 1853, 1944, 2000, 2060, 2071, 2198, 2205, 2224, 2240, 2261, 2322, 2331, 2413, 2457, 2540, 2662, 2709, 2728, 2745, 2752, 2771, 2808, 2869, 2926, 2960, 3059, 3087, 3197, 3256, 3376, 3383, 3402, 3439, 3456, 3473, 3500, 3528, 3591, 3718, 3744, 3887, 3925, 4075, 4097, 4104, 4123, 4160, 4221, 4312, 4375, 4394, 4439, 4472, 4608, 4706, 4825, 4914, 4921, 4940, 4941, 4977, 5038, 5096, 5103, 5129, 5256, 5425, 5427, 5488, 5572, 5642, 5824, 5833, 5840, 5859, 5896, 5913, 5957, 6048, 6119, 6175, 6244, 6293, 6344, 6561, 6641, 6750, 6832, 6840, 6860, 6867, 6886, 6923, 6984, 7075, 7110, 7163, 7202, 7371, 7471, 7560, 7588, 7657, 7859, 8001, 8008, 8027, 8029, 8064, 8125, 8190, 8192, 8216, 8288, 8343, 8512, 8576, 8587, 8729, 9000, 9009, 9056, 9207, 9262, 9269, 9288, 9325, 9331, 9386, 9477, 9603, 9604, 9728, 9773, 9826, 9928, 9990. En autorisant les nombres négatifs, toutes les solutions jusqu'à 100

Les défis de Dudeney		haut
Henry Ernest Dudeney (1857-1930) propose ces deux problèmes dans The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems. Sans ordinateur, on se demande comment il a pu calculer ces valeurs. Voir Énigme des trois maisons / Nombres de Dudeney "It is hard nut, and should only be attempted by those who flatter themselves that they possess strong intellectual teeth".	Puzzle du cube d'argent Il demande les dimensions de deux cubes d'argent dont le volume total est 17 pouces-cube. Il faut trouver une paire de nombres rationnels tels que la somme de leur cube soit 17. Puzzle du Docteur en physique Il demande les rayons de deux sphères dont le volume total est égal à celui de deux sphères de rayon 1 et 2 pouces. Il faut résoudre: x^3 + y^3 = 1^3 + 2^3 = 9
Méthodes Il existe au moins trois méthodes pour trouver de telles sommes.	1. Recherche exhaustive par ordinateur (ou par force brute); 2. Utilisation de la géométrie analytique: trouver un point rationnel sur une courbe; ou 3. Partir d'une solution connue et trouver de nouvelles solutions à l'aide d'identités

Source: The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems (1908) – Pages 19

Identité de Fermat		haut
Fermat propose une identité qui permet de trouver une somme algébrique de deux cubes à partir d'une somme connue.	= a^12 – 2a^9b^3 + 2a^3b^9 – b^12
Exemple avec 9 = 2^3 + 1^3 Le doublet (2, 1) permet de créer le doublet (20, -17), avec nombre négatif.	(a^3 + b^3) (a^3 – b^3)^3 = [2 · (2^3 + 2·1^3) ]^3 – [1 · (2·2^3 + 1^3) ]^3 9 · 7^3 = 20^3 – 17^3 Effectivement: 20^3 – 17^3 = 8 000 – 4 913 = 3087 = 9 · 7^3 Soit deux nouveaux cubes: 20 et 17. Autrement dit:
Nouvelles itérations Pour tenter de trouver une solution à deux nombres positifs.	Les calculs faits, on trouve cette nouvelle somme pour 9:
Encore une Enfin positive ! Dudeney connaissait l'identité de Fermat et avait trouvé ce résultat.
Dudeney n'en est pas resté là, il voulait plus petit. Sans doute à partir cette identité négative, il a calculé la positive.

Géométrie analytique		haut
L'idée consiste à représenter la courbe x^3 + y^3 = 9, par exemple (Tracé avec GeoGebra). Le point (x, y) = (1, 2) est connu. Les tangentes à la courbe passant par ce point coupent la courbe en deux points. On vérifie que les coordonnées de ces points répondent à l'identité: la somme de leurs cubes vaut 9. La suite du raisonnement fait appel aux propriétés des courbes elliptiques. Le mathématicien Eugenia Rosu propose la formule: Voir Articles spécialisés en référence

Sommes de deux cubes – Nombres rationnels			haut
Nombres somme de deux nombres rationnels Chacun une infinité de fois. Sont exclus les cubes et deux fois les cubes.	Liste des nombres somme de deux cubes rationnels 6, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 48, 49, 50, 51, 53, 56, 58, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 75, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 94, 96, 97, 98, 103, 104, 105, 106, 107, 110, 114, 115, 117, 120, 123, 124, …
Quelques exemples pour n jusqu'à 100
Quelques solutions explicitées Lecture

Autres solutions par Andy Pepperdine

Merci à Guy HEKIMIAN pour sa relecture attentive

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Suite	Nombres cubes Partitions en cubes – Exemples Nombres sommes de deux cubes Somme de deux cubes rationnels
Voir	Conjecture d'Euler Théorème de Fermat-Willes Triplets de Pythagore Conjecture – Glossaire Euler – Biographie	Différence de carrés Pépites Pythagore et Fermat Tables de nombres
DicoNombre	Nombre 6 / Nombre 7 / Nombre 9 / Nombre 12 / Nombre 13 / Nombre 15 / Nombre 17 / Nombre 19 / Nombre 20 / Nombre 22 / Nombre 26 / Nombre 28 / Nombre 30 / Nombre 33 / Nombre 37 / Nombre 43 / Nombre 48 / Nombre 62 / Nombre 70 / Nombre 89
Sites	OEIS A003325 - Numbers that are the sum of 2 positive cubes OEIS A004999 - Sums of two nonnegative cubes OEIS A228499 - Sums of two rational cubes, excluding cubes and twice cubes Integral Sum of Two Rational Cubes – Andy Pepperdine – 2020 Integers that can be written as the sum of two rational cubes** – Eugenia Rosu – Article très théorique
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