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Intervalle de confiance

Dans une classe, je sais calculer la moyenne de la taille de mes élèves. Mais comment connaître la taille moyenne dans un département, dans la France? On procédait* par échantillonnage en choisissant un petit nombre d'individus et en projetant la moyenne de l'échantillon sur la population complète.

Deux questions reliées: quelle taille doit faire l'échantillon et sur quel degré de confiance je peux compter pour toucher juste la moyenne cherchée?

Nous allons procéder en quatre temps:

Notion d'intervalle de confiance; c'est quoi au juste?

Calcul "mécanique" de l'intervalle de confiance;

Fondement de la notion d'intervalle de confiance; et

Exemple d'application au médical.

Cette notion n'est pas une fourchette de précision comme vous avez l'habitude d'en rencontrer en physique. Ni la probabilité qu'une valeur se trouve dans cet intervalle. C'est plus subtil. Nous sommes plus dans la comptabilisation des coups réussis ou ratés pour atteindre notre but.

* Aujourd'hui, le recensement de la population est bien entendu nominatif. On compte tout le monde, un par un.

Anglais: Confidence interval

Notion d'intervalle de confiance

Imaginons un maitre qui connait tout, et un élève qui, lui, doit estimer. Notre population (population mère ou population réelle) comprend des milliers d'individus dont le maitre sait que la moyenne de leur taille est 180 cm (µ = 180). L'élève doit tenter de retrouver cette moyenne en se fiant à un petit nombre de personnes interrogées (échantillon). Collecte des infos puis calculs faits, il trouve 181 cm. Sauter le pas et dire que c'est la bonne valeur (inférence) serait fallacieux, n'est-ce pas? Le but est de trouver une fourchette de valeurs (intervalle de confiance) telle qu'il est possible d'affirmer que la moyenne réelle (µ) est quasi-certainement dans cette fourchette. Dans notre cas: µ = 180 est bien dans IC = [178 et 183], par exemple. Avec un fusil, mettre ma balle en plein dans le mille les yeux bandés? Pas possible, ou alors je suis hyper-chanceux. Par contre, avec un tromblon qui disperse légèrement les balles, j'ai plus de chance de toucher le mille. Sur 100 tirs combien de fois vais-je réussir? Tout est dans la taille de l'ouverture du tromblon … Quasi-certainement? Oui, ce n'est pas du 100% garanti! Nous ne sommes pas des devins et nous indiquerons quelle est la probabilité pour que cet intervalle de confiance marche, pour que la moyenne soit effectivement dans la fourchette. Cette probabilité est le niveau de confiance (C) ou le niveau de risque (. L'élève recommence son expérience cent fois. On dira que son estimation de la moyenne est acceptable à 95% s'il touche la cible dans 95 cas sur 100. On admet le risque de rater dans 5 cas sur 100 (5%). Plus on veut un niveau de confiance élevé, plus il faudra agrandir l'échantillon jusqu'à tendre … à 100% en prenant toute la population. Rappel: Nous constatons que l'intervalle de confiance n'est pas l'imprécision sur une mesure, mais une condition pour qu'un panel de mesures soit qualifiable pour représenter la valeur réelle.

Calcul de l'intervalle de confiance

Le calcul "mécanique", certains diraient "bestial" de l'intervalle de confiance n'est pas compliqué. Application d'une formule. Le coefficient critique est une fonction du niveau (degré, indice) de confiance: Exemple: Excel dispose de la fonction "INTERVALLE.CONFIANCE" qui intègre les données de la table ci-dessus pour tous les niveaux de confiance. Note: l'écart type de dit standard deviation en anglais. Graphique montrant que plus on est exigeant sur le niveau de confiance (de 90% à 99,9%), plus l'intervalle de confiance s'élargit (courbes qui s'évasent). D'autre part, l'intervalle diminue en prenant plus d'individus dans l'échantillon (courbe ocre). Il diminue également lorsqu'il a de moins en moins de dispersion (éparpillement: écart type) autour de la valeur moyenne (courbe mauve).

Fondement de la notion d'intervalle de confiance**

L'explication précise nécessite des matériaux qui ne sont pas encore en ligne sur ce site. Ce sont des développements sur le calcul des centiles pour une loi de distribution normale normalisée (centrée et réduite). En gros On sait que la distribution de la variable (le paramètre) dans la population mère est une distribution normale ou alors, on a choisi un échantillon suffisamment grand (> 30 voire 50). On construit une variable centrée réduite Définition d'un intervalle dans lequel cette varaible a une certaine probabilité de se situer: En développant: Il y a donc une certaine chance (1 – ) que m, moyenne inconnue, appartienne à un intervalle symétrique, centré autour de la moyenne observée (), et de longueur . Ce qui définit la zone de confiance de l'intervalle. Pour terminer La détermination précise d'un intervalle de confiance dépend de plusieurs éléments: le degré de connaissance de la population mère; les conditions de construction de l'échantillon; la taille et la valeur des paramètres; et le niveau de confiance retenu. Avec un échantillon de plus de 30 individus, l'emploi de la loi normale est légitime (c'est le cas décrit sur cette page). En dessous: loi normale ou loi de Student, affaire de spécialiste! L'écart type à utiliser dépend de ce que l'on sait de l'écart type de la population mère. Encore affaire de spécialiste pour l'estimer.

Exemple d'application au médical
Les publications médicales utilisent un niveau de risque de (ils notent "p" sans doute plus facile à écrire qu'alpha) Valeur mise au point par le Pr Fischer, il y a 60 ans, précisant qu'il fallait être prudent avec cette valeur. Néanmoins c'est elle qui est utilisée par tous les spécialistes des statistiques médicales pour confirmer l'efficacité d'un produit. En 2013, le "BMC Medical Research Methodology"publie un article ("Comment les intervalles de confiance deviennent des intervalles de confusion"). Il montre comment, à partir de résultats similaires, les chercheurs et cliniciens arrivent à des conclusions complètement différentes. Sur la planche du bas en bleu, ce sont les intervalles de confiance. Tout se tient dans un mouchoir de poche. Pourtant certains considèrent que les statines sont très efficaces pour réduire la mortalité, tandis que d'autres considèrent que ça ne marche pas.
Cela tient à l'excès de confiance que certains scientifiques donnent à cette valeur. Réduire le niveau de risque conduirait à une révolution dans les laboratoires. Beaucoup de médicaments ne passeraient pas la barre.

SOURCE: France 5 – Le magazine de la santé – Les publications scientifiques sont-elles fiables? – David Zavaglia – 21/11/2013

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