NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/04/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres IMPAIRS / PAIRS

& CARRÉS

Propriétés simples et magiques!

Tout nombre impair est

la somme de deux nombres consécutifs

dont la différence des carrés redonne ce nombre impair

3 = 2 + 1 = 2² – 1² 5 = 3 + 2 = 3² – 2² 7 = 4 + 3 = 4² – 3² 9 = 5 + 4 = 5² – 4² … 101 = 51 + 50 = 51² – 50² …

Explication: (k + 1)² – k² = k² + 2k + 1 – k² = 2k + 1

Motif semblable avec les multiples de 4:

Voir Factorisation de Fermat / Machine à factoriser de Carissan

Démonstration muette pour les impairs

Voir Différence de carrés

NOMBRES IMPAIRS – TABLEAU
Principe Le tableau montre l'application de cette propriété pour les nombres impairs de 3 à 99. On prend le nombre impair n et on le divise par 2: ce qui donne x,5 On considère les deux nombres x et x+1. Leur somme donne n. La différence de leur carré donne aussi n.

n+1 n somme (n+1)² n² différence

2 1 3 4 1 3

3 2 5 9 4 5

4 3 7 16 9 7

5 4 9 25 16 9

6 5 11 36 25 11

7 6 13 49 36 13

8 7 15 64 49 15

9 8 17 81 64 17

10 9 19 100 81 19

11 10 21 121 100 21

12 11 23 144 121 23

13 12 25 169 144 25

14 13 27 196 169 27

15 14 29 225 196 29

16 15 31 256 225 31

17 16 33 289 256 33

18 17 35 324 289 35

19 18 37 361 324 37

20 19 39 400 361 39

21 20 41 441 400 41

22 21 43 484 441 43

23 22 45 529 484 45

24 23 47 576 529 47

25 24 49 625 576 49

26 25 51 676 625 51

27 26 53 729 676 53

28 27 55 784 729 55

29 28 57 841 784 57

30 29 59 900 841 59

31 30 61 961 900 61

32 31 63 1 024 961 63

33 32 65 1 089 1 024 65

34 33 67 1 156 1 089 67

35 34 69 1 225 1 156 69

36 35 71 1 296 1 225 71

37 36 73 1 369 1 296 73

38 37 75 1 444 1 369 75

39 38 77 1 521 1 444 77

40 39 79 1 600 1 521 79

41 40 81 1 681 1 600 81

42 41 83 1 764 1 681 83

43 42 85 1 849 1 764 85

44 43 87 1 936 1 849 87

45 44 89 2 025 1 936 89

46 45 91 2 116 2 025 91

47 46 93 2 209 2 116 93

48 47 95 2 304 2 209 95

49 48 97 2 401 2 304 97

50 49 99 2 500 2 401 99

EXPLICATION – Très simple … pour une identité si magique!
La somme de deux nombres successifs, comprenant forcément un nombre pair et un nombre impair, est évidemment impaire La différence des carrés se calcule. Autre constat, en utilisant l'identité remarquable a² - b² = (a-b) (a+b)	n + (n+1) = 2n + 1 (n+1)² – n² = n² + 2n + 1 – n² = 2n + 1 (n + 1)² – n² = (n+1-n) (n+1+n) = 2n + 1

Démonstration
Soit un nombre impair Différence de carrés Or, on peut exprimer n en fonction de A Et remplacer dans l'expression du dessus Tout nombre impair est la différence e deux carrés parfaits. Si, de plus ce nombre (A) est un carré parfait, nous obtenons un triplet de Pythagore.	A = 2n + 1 A = 2n + 1 + n² – n² = (n + 1)² – n²

ILLUSTRATION
Prenons un carré de n = 3 de côté Comment passer à celui de n+1 = 4 de côté? En ajoutant d'abord une ligne de 4, puis une colonne de 3. (n + 1)² = n² + (n + 1) + n Gd carré = Pt Carré + n + n + 1 La partie ajoutée (2n = 1) pour passer d'un carré au suivant est appelée le gnomon.
Parfois, on aime compliquer les choses et se donner des contraintes. Pourquoi ne pas imposer que la partie ajoutée, le gnomon, soit aussi un nombre carré? Si c'est le cas, nous obtenons un triplet de Pythagore: 5² - 4² = 5 + 4 = 9 = 3² ou autrement dit 4² + 3² = 5²

NOMBRES PAIRS
Un nombre pair n'est jamais qu'un nombre impair +1 ou un nombre impair – 1.	100 100	= 99 + 1 = 101 – 1
En remplaçant par la différence des carrés du nombre impair, on donne deux possibilités d'exprimer un nombre pair en relation avec deux carrés.	100 100	= 50² – 49² + 1 = 51² – 50² – 1
En sommant ces deux relations. On obtient une expression pour le double du nombre pair considéré.	200	= 51² - 49²
Le double d'un nombre pair (c'est-à-dire un nombre n divisible par 4) est toujours la différence de deux carrés séparés de deux unités. Ces deux nombres sont de part et d'autre du quart de n.	100 8 12	= 26² – 24 ² = 3² – 1² = 4² – 2²

Résumé
Sont différences de deux carrés les: - Nombres impairs n = 2k + 1 = (k+1)² - k² - Nombres divisibles par 4: n = 4 k = (k+1)² - (k-1)² Quant aux nombres pairs: n = 2 k = (k+1)² – k² - 1 (formule des impairs avec le 1 qui a changé de côté).

Curiosités, quel que soit n

(n + 1)² – (n – 1)² = 4n (n + 2)² – (n – 2)² = 8n (n + 3)² – (n – 3)² = 12n

n = 100 101² – 99² = 400 102² – 98² = 800 103² – 97² = 1200

Voir Identités remarquables

Suite	Brève de math n° 245 Somme des impairs Impairs, carrés et cubes Écart entre carrés Factorisation avec différence de carrés
Voir	Différence de carrés Nombres consécutifs Nombres pairs et impairs – Caractérisation Nombres pairs et impairs – Introduction Pépites Tables de nombres
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