NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrable

Aleph

 

Sommaire de cette page

>>>  Le monde insoupçonné de l'infini

>>> Aleph – Propriétés

>>> Aleph – Identités

 

 

 

 

INFINI – Calcul avec ALEPH

 

L'infini ou plus exactement les transfinis se prêtent à une arithmétique bien singulière.

 

 

LE MONDE insoupçonné de l'INFINI

 

*      Cantor baptise Aleph 0 (0)  l'infini des nombres entiers. En langage mathématique :  0 est le cardinal infini des nombres entiers.

 

*      Il baptise Aleph 1 (1) l'infini du nombre de points sur une portion de courbe. Il en profite pour généraliser et donner une construction de .

 

*      Il se pose également une question étrange: existe-t-il d'autres infinis entre  0 et  1? Il faudra attendre Kurt Gödel (1938) et Paul Cohen (1963) pour savoir qu'on ne le saura jamais. Il s'agit d'un sujet indécidable : aussi bien vrai que faux !

 

*      L'infini est bien plus déroutant qu'on pouvait le penser...

 

Voir Suite pour détails et nuances

 

 

 

ALEPH – RÉCAPITULATIF ET PROPRIÉTÉS

Entiers

Fractions

Aleph 0

 0

*      L'ensemble de tous les nombres entiers naturels () et des rationnels - ou fractions (). On dit que  à la puissance (ou le cardinal) du dénombrable. C'est le plus petit cardinal infini.

Ensemble d'ensembles

Aleph 1

 1

*      L'ensemble réunissant tous les ensembles créés à partir des nombres rationnels

Réels Lignes

Surfaces

Cubes

c

comme continu

*      L'ensemble des points géométriques, ou ensemble des nombres réels (). On dit que  à la puissance (ou le cardinal) du continu. On ne sait pas décider si c =  1 (hypothèse du continu)

Courbes

Aleph 2

 2

*      L'ensemble des courbes géométriques.

?

Aleph 3

 3

*      Aucune interprétation pour le moment.

Et

Aleph infini

 

*      Il n'est pas interdit d'y penser!

 

 

Identités

 0 + n =

 0

 0 +  0 =

 0

n.  0 =

 0

 0 .  0 =

 0

 0 n =

Même avec n = ¥

 0

Mais,

 

  = 0 À0  =

1

  = 1 À1  =

2

 

  

 

 

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