Fractions égyptiennes

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FRACTIONS ÉGYPTIENNES

Algorithme glouton pour le calcul des fractions égyptiennes. Une variante simplifiée.

Version simplifiée	Version classique

*Dénominateurs "moyens"*	*Dénominateurs les plus grands possibles*

Anglais: Greedy algorithm

Algorithme glouton

En 1201, Fibonacci trouve un algorithme pour effectuer une décomposition en fractions égyptiennes. La méthode a été redécouverte en 1880 par James Sylvester. Par contre, la méthode utilisée par les Égyptiens n'est pas connue.

Voyons sur des exemples comment faire fonctionner cet algorithme.

Première approche

Une fraction de départ, inférieure à 1, sinon retirez la partie entière.

Trouvez une fraction unitaire inférieure à 4/5 ou 8/10; 5/10 = 1/2 remplit la condition.

Cherchez la différence.

La fraction différence n'est pas unitaire; poursuivons avec cette nouvelle fraction.

Une fraction unitaire inférieure à 3/10 serait 2/10 = 1/5.

Calculez la différence; la fraction obtenue est unitaire.

C'est fin de l'algorithme.

Les trois fractions obtenues forment le résultat attendu.

4/5

1/2 < 4/5

1/5 < 3/10

Choix de la fraction

Une fraction de départ.

L'inverse de la fraction et l'entier juste supérieur.

La fraction sera l'inverse de cet entier.

Inverse de la fraction et entier supérieur.

Nouvelle différence.

Résultat.

77 / 111

111/77 < 2

222/43 = 5,… < 6

Optimisation

Avec cet algorithme le premier résultat ci-dessus est optimisé.

Cependant, même avec cet algorithme, il n'est pas sûr d'obtenir la meilleure des optimisations.

À comparer au premier résultat ci-dessus

Représentation de nombres irrationnels

Cet algorithme s'applique à tout nombre, y compris les nombres irrationnels.

Pi = 3

+ 1/8

+ 1/61 => 3,1414 …

+ 1/5020 => 3,14159264 …

+ 1/128541455

+ …

Programmation
Rationnels > # algorithme glouton Num:=77: Den:= 111: lprint(Num/Den): for i from 1 while i <10 do E:=trunc(Den/Num)+1: lprint(1/E): *Num:=NumE-Den: Den:=DenE:* F:=Num/Den: if numer(F)=1 then i:=100:lprint(Num/Den);fi: od: > 77/111 1/2 1/6 1/37	Exemple: 77 / 111 Impression de cette fraction. Boucle limitée à 10 itérations. Calcul du dénominateur de la nouvelle fraction et impression de celle-ci. Nouvelle fraction différence. Mise sous forme de fraction F. Si le numérateur de cette nouvelle fraction vaut 1, c'est la fin: imprimer cette fraction; donner une grande valeur au pointeur de boucle qui forcera l'arrêt. Résultat de l'exécution de cet algorithme.
Irrationnels > # algorithme glouton Num:=Pi-3: Den:= 1:P:=30: lprint(Num/Den): for i from 1 while i <7 do EE:= evalf(Den/Num,30): E:=trunc(EE)+1: lprint(1/E): *Num:=evalf(NumE-Den,30): Den:=evalf(DenE,30):* F:=Num/Den: od:	*Note:* cet algorithme devra être adapté pour calculer des valeurs irrationnelles: introduire l'instruction evalf. Inutile de tester si le numérateur vaut 1; les fractions se suivent sans fin …

Voir Programmation Mapple

Quelques valeurs usuelles

Décimal 1/a = 1/b + 1/c + 1/d

0,1 1/10 1/11 1/110

0,111 1/9 1/10 1/90

0,125 1/8 1/9 1/72

0,142 1/7 1/8 1/56

0,1666 1/6 1/7 1/42

0,2 1/5 1/6 1/30

0,222 2/9 1/5 1/45

0,25 1/4 1/5 1/20

0,285 2/7 1/4 1/28

0,3 3/10 1/4 1/20

0,333 1/3 1/4 1/12

0,375 3/8 1/3 1/24

0,4 2/5 1/3 1/15

0,428 3/7 1/3 1/11 1/231

0,444 4/9 1/3 1/9

0,5 1/2 1/3 1/6

0,555 5/9 1/2 1/18

0,571 4/7 1/2 1/14

0,6 3/5 1/2 1/10

0,625 5/8 1/2 1/8

0,666 2/3 1/2 1/6

0,7 7/10 1/2 1/5

0,714 5/7 1/2 1/5 1/70

0,75 3/4 1/2 1/4

0,777 7/9 1/2 1/4 1/36

0,8 4/5 1/2 1/4 1/20

0,833 5/6 1/2 1/3

0,857 6/7 1/2 1/3 1/42

0,875 7/8 1/2 1/3 1/24

0,888 8/9 1/2 1/3 1/18

0,9 9/10 1/2 1/3 1/15

Voir Comparaisons entre fractions usuelles / Table des fractions égyptiennes

Constantes et leurs fractions égyptiennes

Constante

Valeur

Fractions pour la partie décimale

0,3183098861

1/4 Ces fractions s'ajoutent

1/15 pour plus ou moins de précision.

1/609

1/845029

1/1010073215739

1/1300459934891669100860858

Log 2

0,6931471806

1/2

1/6

1/38

1/6071

1/144715221

1/58600453312398682

0,7071067810

1/2

1/5

1/141

1/68575

1/32089377154

1/1644444236993982746479

1,236067977

1/5

1/28

1/2828

1/11765225

1/244616741135816

1/95913226236687016170827960389

1,414213562

1/3

1/13

1/253

1/218201

1/61323543802

1/5704059162715143504206

1,618033988

1/2

1/9

1/145

1/37986

1/2345721887

1/26943815937518486733

1,645751311

1/2

1/7

1/346

1/250326

1/159992246122

1/43126924985547822379813

1,732050808

1/2

1/5

1/32

1/1249

1/5986000

1/438522193400489

2,718281828

1/2

1/5

1/55

1/9999

1/3620211523

1/25838201787744990449

3,141592654

1/8

1/61

1/5020

1/128541455

1/162924332716725506

1/31542549081136766821160233132100001

Voir Constantes

Suite	Comparaison des fractions usuelles Fractions dont la somme est égale à 1 Sommes d'inverses Fractions – Glossaire et index
Voir	Tables des fractions égyptiennes Fraction avec 0,65
Aussi	Histoire – Index Géométrie – Index Récurrence Théorie des nombres – Index
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