NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Débutants

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FRACTIONS

 

Glossaire

Fraction

 

 

INDEX

Calcul

Débutant

Unitaire

Continues

Égyptiennes

Comparaison

Règle de trois

Somme 1

Glouton

Construction

Illicites

Inverse

Identités

Puissances

 

 

Sommaire de cette page

>>> Amusement

>>> Approche

>>> Propriétés

>>> Illustration amusante

>>> Solution de l'équation 1/x + 1/y = 1/z

>>> Complexe

>>> Densité de fractions

>>> Anglais

 

 

 

FRACTIONS ÉGYPTIENNES

 

Fractions dont le numérateur vaut toujours 1. Seules exceptions 2/3 et sans doute 3/4.  En tout cas ces deux fractions étaient chacune représentée par un hiéroglyphe.

 

On ne sait pas très bien pourquoi les Égyptiens en étaient venus à utiliser ces fractions. Aujourd'hui, elles sont propices à des jeux. Notamment, comment découper une tarte en parts toutes inégales? …

Voir Représentation des fractions égyptiennes

 

 

 

Amusement

 

*      Quatre enfants sont bien empruntés. Ils n'ont que trois biscuits à se partager. Comment faire?

*      Chacun aura bien entendu 3/4 de biscuit. Comment faire le moins de découpes?

*      Il suffit de partager d'abord en moitiés. Chacun une.

*      Puis de partager le troisième en quarts. Chacun un.

 

 

Avec 3 biscuits pour 4 enfants, chacun aura ½ et ¼ .

 

 

Un cas un peu plus délicat

 

 

 

Approche

 

*      Cette fraction égyptienne a été trouvée sur le papyrus Rhind, inscrite par le scribe Ahmes il y a 3500 ans.

 

=  0,1176...

*      Fraction égyptienne:

*       le numérateur est toujours égal à 1, à l'exception des fractions 2/3 et 3/4.

*       somme de fractions unitaires avec dénominateurs tous différents.

 

*      Fraction unitaire:

*       numérateur égal à 1, et

*       le dénominateur est un entier positif.

Exemples

 

= 0,75

 

Non égyptienne.
Trop simple! Trivial.

 

= 0,9444…

 

Exemples

 

2/7

= 1/4 + 1/28

2/11

= 1/6 + 1/66

2/97

= 1/56 + 1/679 + 1/776

Etc.

 

 

Mais:

7/10

= 2/3 + 1/30

 

On conjecture que 4/n et 5/n

sont décomposables en somme de trois fractions unitaires.

 

 

 

 

 

CONSTRUCTION

 

*      Formule de base =>

 

*      En 1201, Fibonacci trouve un algorithme, dit algorithme glouton.

 

 

 

Suite en   Construction des fractions unitaires et égyptiennes.

Voir Table et comparaison entre fractions usuelles

 

 

Propriétés

 

*      Deux fractions exprimées sous forme égyptienne sont plus facilement comparables.

 

Exemple

La différence entre ce deux fractions est 3/56 = 0,05 …

 

*      Tout nombre rationnel positif peut être exprimé en fraction égyptienne et ce, d'une infinité de façons différentes (cf. procédé de construction).

 

*      La somme des fractions égyptiennes consécutives est supérieure à n'importe quel nombre, pourvu que le nombre de termes soit assez grand: Série lentement divergente, mais… divergente.

 

*      La question du plus petit dénominateur final pour la plus petite quantité de termes est un sujet qui est très ouvert.

Voir Denser Egyptian fractions notamment par Greg Martin

 

 

 

Illustration amusante

Voir Explications  /  Hyperbole

 

 

Solution de l'équation 1/x + 1/y = 1/z

 

*      Trouver les solutions de cette équation diophantienne revient à chercher quels sont les nombres dont le produit (x.y) vaut z fois la somme.

 

Exemple: 1/3 + 1/6 = 1/2    & 2 (3+6) = 3x6 = 18

 

*      Liste des 77 solutions pour z jusqu'à 25 et x et y jusqu'à 1000:

 

 

 

Nombres complexes

 

*      Avec les nombres complexes.

Souvenez-vous que:
(2-i)(2+i) = 2² + 2i – 2i – i² = 5

 

Voici quelques exemples de valeurs pour:

 

 

 

 

 

                 a      b    F         F

                 2      1    4/5      0,8

                 3      1    3/5      0,6

                 1      2    2/5      0,4

                 4      2    2/5      0,4

                 4      3    8/25    0,32

                 2      3    4/13    0,30769…

                 6      2    3/10    0,3

                 7      1    7/25    0,28

                 3      4    6/25    0,24

                 1      3    1/5      0,2

                 2      4    1/5      0,2

                 8      4    1/5      0,2

                 9      3    1/5      0,2

                 6      6    1/6      0,1666…

                 8      6    4/25    0,16

                 10    5    4/25    0,16

                 3      6    2/15    0,1333…

                 6      8    3/25    0,12

                 1      4    2/17    0,1176…

                 2      6    1/10    0,1

                 4      8    1/10    0,1

                 3      9    1/15    0,0666…

                 2      8    1/17    0,0588…

 

 

 

 

Densité de fractions

 

*      Deux exprimé par une somme de 366 fractions égyptiennes avec un dénominateur inférieur à 1000.

 

2 =  1/13 + 1/19 + 1/23 + 1/27 + 1/29

+ 1/32 +1/34 + 1/35 + 1/36 + 1/38 + 1/39

+ 1/40 + 1/42 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/49 + 1/50 +

 …

 + 1/950 + 1/952 + 1/957 + 1/960 + 1/966 + 1/969 + 1/975

+ 1/980 + 1/986 + 1/988 + 1/990 + 1/992

 

Conséquence
Il est possible de diviser 2 tartes en 366 parts inégales.

 

*      Avec le nombre 1, il y a 454 telles fractions:


1 = 1/97 + 1/103 + 1/109 + … + 1/996 + 1/999

 

 

Valeurs entières possibles de N

 

N

Avec n

Faisable?

2

< 1 000

*    Possible (voir ci-dessus)

8

 

*    Impossible

3 à 7

< 1000

*    Pas impossible; pas encore connu

Entier

n quelconque

*    0,3 n possibilités au maximum

2

= 1 000 000

*    Probablement 300 000 fractions

 

Recherche

*      Travaux récents (1998) des mathématiciens Greg Martin et Ernest Croot: " Comment exprimer un entier sous la forme du plus grand nombre possible de fractions égyptiennes différentes." 

 

Anglais: Dense Egyptian fractions
Voir Greg Martin University of British Columbia (maths avancées)

 

 

 

 

English corner

 

*      The ancient Egyptians (1650 av. J.-C.), as far as we can tell from the documents now surviving, used a number system based on unit fractions: fractions with one in the numerator. They wrote positive rational numbers as sums of distinct reciprocals of positive integers, or unit fractions.

*      An Egyptian fraction is a sum of positive (usually) distinct unit fractions.

*      In 1202, Fibonacci published an algorithm, subsequently rediscovered by Sylvester in 1880, among others, for constructing such representations, which have come to be called Egyptian fractions, for any positive rational number.

 

 

 

 

 

Suite

*    Algorithme pour la recherche des fractions égyptiennes

*    Comparaison des fractions usuelles

*    Construction de ces fractions

*    Énigme du partage des 11 bonbons

*    Énigme du partage des 17 chevaux

*      Fractions – Glossaire et index

*      Suite de Sylvester

*      Nombres semi-parfaits primaires

Voir

*    Inverse d'un nombre

*    Tables des fractions égyptiennes 

*    Fraction avec 0,65

*    Fractions dont la somme est égale à 1

*    Sommes d'inverses

*    Théorie des nombres – Index

DicoNombre

*    Nombre ¼

*    Nombre 1/3

*    Nombre ½

*    Nombre 2/3

*    Nombre ¾

*    Nombre 3/7

Cette page

*    http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Fraction/Egyptien.htm

Sites

*    Fractions égyptiennes sur Wikipédia

*    Site de Dr Ron Knott (anglais)