NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/03/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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DIVISION à l'envers

Comment remonter une division. Sorte de division à trous.

Excellent exercice de maitrise de la division posée.

Énigmes avec nombres choisis.

Propriétés utilisées

1) Les unités d'une multiplication par 7 ont des valeurs différentes selon l'unité du multiplicateur.

2) Choix d'un nombre à diviser avec répétition de 9, proche d'une puissance de 10.

Voir Évaluation de CM1

Ma première division à l'envers
Problème Reconstituer cette division pour trouver la valeur de x, sans calculette. Note: la barre de surlignement indique qu'il faut considérer le nombre complet et non une suite de chiffres.			La division à reconstituer
Principe de la solution L'idée consiste à faire la division en partant du reste; et plus particulièrement du chiffre de ses unités. La théorie La proposition de cette énigme repose sur le fait que les multiples de 0 à 7 du nombre 7 se terminent chacun par un chiffre différent. (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63). Alors l'unité du reste induit une unité du multiple de 7 à trouver et donc ce multiple unique.			La première étape Avec le dernier 0 abaissé et le reste 4, on a 10 – 4 = 6. (10, du fait d'une retenue). Il faut trouver un multiple de 7 qui se termine par 6. Le seul est 8 x 7 = 56.
Résolution Comme il s'agit d'une division à l'envers effectuons-la à l'envers. Bilan 10 000 = 1 428 x 7 + 4 9 996 = 1 428 x 7 Nombres propices La configuration avec trois 9, donc proche d'une puissance de 10 est propice à cette énigme.
La même avec un zéro de plus. Trouvez la valeur de x. Voir Les repdigits partiels		Solution 100 000 = 14 285 x 7 + 5 99 995 = 14 285 x 7

Division à l'envers plus complexe
Problème Reconstituer cette division pour trouver la valeur de x, y et z.
Solution 712 000 000 = 904 701 x 787 + 313 711 999 687 = 904 701 x 787

Problème proposé par Tangente n° 108 en janvier-février 2008 – page 46 – Auteur M.R. Parmentier

Résolution avec tableur et programme
Exercice intéressant de familiarisation avec le tableur La quantité de millions (xyz) varie de 100 à 999. Au pire c'est mille lignes de tableur à tirer. La première ligne contient: En B1: le nombre 100 (ici, on a mis 710 pour limiter le tableau); En C1: on forme le nombre B1 x 1000 000 et on calcule le reste de la division par 7 (effet de MOD); et En D1: recherche d'un reste égal à 313 avec l'instruction: =SI(C2=313;"BINGO";" n") Une fois la première ligne écrite Sélectionnez les trois cellules (B1, C1 et D1); Tirez la poignée bas-droite d'un cran vers le bas pour recopier la première ligne en deuxième ligne. Modifiez B2 avec 101(ici, 711). Sélectionnez les six cellules (B1, C1, D1, B2, C2 et D2); Tirez la poignée bas-droite jusqu'à atteindre 999 en colonne B. Repérez où se trouve "BINGO". C'est la solution.		Extrait de la page du tableur En bref B1: entrée du nombre 100 C1: =MOD(B1*1000000;787) D1: =SI(C1=313;"BINGO";" n") Copie des lignes jusqu'à 999 BINGO se produit en ligne 712 => xyz = 712
Avec un logiciel, la solution est immédiate
La résolution avec le logiciel gratuit Scratch est tout aussi simple. L'exécution de ce programme montre:

Voir Programmation – Index

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