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		Lunule	Densité	Dans Rectangle
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Densité des arrangements de disques

Problème équivalent à l'empilement des sphères, traité ici en deux dimensions. Sur cette page nous donnons quelques indications de calculs des aires et des densités. Nous présenterons enfin la preuve de la densité minimale.

Arrangement carré (rectangulaire)
Cette densité est légèrement supérieure à trois-quarts. Paradoxal à première vue. On aurait plutôt misé "moitié-moitié" en regardant le losange arrondi en jaune. Mais, en observant chaque quart de cercle et le quart jaune qui lui correspond, on apprécie mieux la proportion de trois-quarts.

Arrangement triangle (hexagonal)
Les parties bleues dans le triangle représentent trois fois un sixième de disque, soit un demi-disque. L'aire du triangle équilatéral est égale à rac(3) / 4 fois le côté au carré.
De combien faudrait-il augmenter le rayon des cercles pour couvrir la partie centrale (jaune)? Soit H la hauteur du triangle équilatéral de côté 2R. Sa mesure est égale à rac(3)/2 fois le côté 2R. Le rayon du cercle (R') doit être augmenter pour atteindre le centre du triangle équilatéral, soit les 2/3 de la hauteur H. Le facteur d'augmentation est égal à 1,15470… La densité de tels disques (qui se chevauchent) est donc supérieure à 1 (aire du trou devient nulle).

Optimum (Sur le modèle de la démonstration de Thue)
On considère les trois cercles d'origine (R) et leurs cercles associés (R'). On les éloigne et on les rapproche. On s'intéresse au losange tel que montré sur la figure.
On cherche la densité de disques (bleus) dans le losange.
Au maximum les disques bleus se touchent. Au-delà, ils se chevauchent.	Nous constatons sur la figure avec les trois cercles tangents (plus haut) que l'angle théta vaut alors 60° = Pi / 3. C'est la valeur maximale pour l'angle théta.
Variation de d pour un angle de 0 à Pi / 3 = 1,047…	La fonction est croissante et son maximum est justement atteint pour Pi/3. Conclusion, cette configuation de cercles tangents est bien la plus dense.

Voir Identités trigonométriques / Aire du secteur

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