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Débutant DicoMot DicoNombre	BISSECTRICE
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Anglais: angle bisector

En bref Triangle ABC. Bissectrices internes qui se coupent en O (vertes); centre du centre inscrit. Bissectrices externes qui se coupent en Oa, Ob et OC (pointillés roses); centres des trois cercles exinscrits. Les points de tangence M, N et P (pieds des perpendiculaires issues des points en O) forment le triangle de Gergonne. Les droites AN, BM et CP se coupent en un seul point, le point de Gergonne.

Approche	Prenez une feuille de papier; amenez le bord-bas vers le bord-gauche et pliez. La marque de la pliure est la bissectrice de l'angle droit bas gauche; on a divisé l'angle droit en deux parties égales (45°).
Définition	Bissectrice d'un angle: demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux parties égales; notez qu'il en existe deux pour chaque angle: la bissectrice interne et la bissectrice externe; les trois bissectrices internes d'un triangle se coupent en un même point, centre du cercle inscrit dans le triangle.
Formalisation	La demi-droite [MB) est la bissectrice de l'angle
Propriété majeure	Tout point de la bissectrice est équidistant des deux droites. PH = PK P'H' = P'K'
Propriété induite	Toute perpendiculaire à la bissectrice découpe des segments égaux comme: PH' = PK' Les triangles MPH et MPK d'une part et MPH' et MPK' d'autre part sont isométriques; donc les triangles HPH' et KPK' le sont également.

Construction	Avec un compas de centre O dessinez M et M'; Puis avec la même ouverture de compas dessinez un arc de cercle de centre M et un autre de centre M'; Ils se croisent en B; OB est la bissectrice de l'angle MOM'.
Terminologie	On dit: Bissectrice de l'angle ou bissectrice du secteur angulaire. La bissectrice telle que représentée ci-dessus est la bissectrice intérieure de l'angle; en prolongeant OB au-delà de O, on forme la bissectrice extérieure de l'angle.
Doubler un angle	Pour dupliquer l'angle rouge: 1. Cercle de centre A et de rayon quelconque. Intersection en B. 2. Cercle C1 de centre B et tangent à l'autre côté de l'angle. 3. Tangente au cercle C2, issue de A. L'angle en jaune est égal à l'angle en rose.

Propriétés

La bissectrice partage l'angle en deux parties égales. La bissectrice est un axe de symétrie du secteur angulaire. Dans un triangle isocèle la bissectrice de l'angle au sommet est aussi la médiatrice et la hauteur. Dans un triangle équilatéral, cette propriété est vraie pour les trois bissectrices. Dans un triangle quelconque, les trois bissectrices intérieures concourent en un même point, le centre du cercle inscrit dans le triangle. Voir Démonstration / Points du triangle Le cercle inscrit dans le triangle est tangent aux trois côtés du triangle. Dans un triangle, une bissectrice intérieure et les deux bissectrices extérieures concourent en un même point, le centre d'un des trois cercles exinscrits du triangle. Note: bissectrice intérieure et bissectrice extérieure sur un même sommet sont perpendiculaires (bissectrices de deux angles dont la somme est un plat – 180°). Voir Triangle et cercle / Cercles exinscrits – Développements

To produce (geometry)

A circle which touches one side of a triangle and the other two produced is called an escribed circle of the triangle.

Un cercle exinscrit à un triangle tangent à un côté et aux deux autres prolongés.

Voir Faux-amis anglais

Démonstration

Hypothèses Un triangle ABC; AA' et CC' deux bissectrices qui se coupent en O. Ce qu'il faut démontrer La droite BB' est la troisième bissectrice. Démonstration Le point O étant sur la bissectrice AO de l'angle BAC, il est à égale distance des côtés: OB" = OC". Le point O étant sur la bissectrice CO de l'angle ACB, il est à égale distance des côtés: OB" = OA". D'où l'égalité: OB" = OC" = OA" Autrement-dit, le point O est à égale distance des côtés AB et AC de l'angle ABC. Il est situé sur la bissectrice de cet angle; BB' est la troisième bissectrice.

Théorème de la bissectrice	La bissectrice AM découpe une sécante BC dans le rapport des côtés adjacents AB et AC.
Démonstration	La démonstration est d'une grande simplicité à condition d'une petite astuce de tracé. On dessine NC parallèle à la bissectrice AM. Les angles A1 = N1 et A2 = C2 Or A1 = A2 (bissectrice). Conclusion: le triangle ANC est isocèle et AN = AC. Avec l'aide de Thales: Et en remplaçant AN par AC.

Voir Application au partage d'un triangle en sept parties de même aire /

Défi des trois angles égaux / Construction du pentagone / Brève 55-1091

Antiparallèles	Droites D et D' et droites d et d'. Les bissectrices des angles (pointillés). Si la direction de ces deux bissectrices est la même, alors d' (par exemple) est l'antiparallèle de d par rapport à DD'. Si A et B sont confondus, alors les couples de droites sont dites isogonaux. Voir Points cocycliques
Ligne isogonale	Soit un angle et sa bissectrice; une ligne symétrique par rapport à la bissectrice est son isogonale.
Propriétés	Dans un triangle, si trois droites issues des sommets sont concourantes, alors leurs isogonales sont concourantes. Voir Symédiane Le point est le conjugué isogonal. C'est le cas du point de Fermat. Les centres des cercles inscrit et exinscrits coïncident avec leurs conjugués isogonaux. Le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre. Le point de Lemoine est le conjugué isogonal du centre de gravité. Les deux points de Brocard sont des conjugués isogonaux.

Anglais

To bisect: to cut in half; to bisect a line or an angle means to divide it into two equal parts. Note de prudence: souvent ce mot est pris pour diviser en deux, pas forcément en parts égales. Prononciation: [ˌbaɪˈsekt] en gros: baille secte. Orthographe (un "s" ou deux; parts égales ou non?) (Angle) bisector: the line that divides an angle into two equal angles. The internal bisector and external bisector of an angle. Perpendicular bisector (fr. médiatrice). The three angle bisectors of a triangle intersect in a single point; this point is the center of the triangle's incircle, the circle which lies inside the triangle and touches all three sides. There are three other important circles, the excircles; they lie outside the triangle and touch one side as well as the extensions of the other two.

Section avancée*

Bissectrices et cercle circonscrit
Construction Triangle ABC et son cercle circonscrit. Bissectrices (roses). Intersections avec le cercle en D, E et F Propriété Les côtés du triangle DEF (vert) sont perpendiculaires avec les bissectrices. Démonstration On note A, B et C les angles en ces sommets. Même arc intercepté: angles 1 égaux, et ils valent A/2. Angle 2 = 180 – BIC = 180 – (180 – 4 – 5) = 4 + 5 = B/2 + C/2 Triangle: 1 + 2 + 3 = 180 = A/2 + B/2 + C/2 + 3 = 180/2 + 3 => 3 = 180 – 90 = 90°.

Voir Triangles remarquables / Brève 863

Coordonnées du centre du cercle inscrit
Quelles sont les coordonnées du point O? Avec AT l'aire du triangle ABC (voir formules de Héron). Même formules avec permutations pour les autres bissectrices.

Voir Rayon du cercle inscrit / Calculs pour l'orthocentre / Droite d'Euler

Longueurs des bissectrices

avec D² = (b+ c)²

Théorème de la bissectrice
Plus 1 de chaque côté
Même dénominateur
Remplacement
Expression de DC
De même pour BD
Théorème de Stewart
Substitution
Calculs
Simplification par a
Valeur de d

En savoir plus	Allumettes – Bissection avec des - Angles Bissection Bissection du triangle Bissection et trisection Bissectrices – Propriétés et applications Bissectrices du triangle rectangle Carrés et couronnes Cercles inscrit et exinscrits Cercles inscrits au milieu d'autres cercles Constructions élémentaires: bissectrice Construction du triangle à partir de ses bissectrices Couper en deux – Découverte Junior Éléments remarquables du triangle
Site	Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle – Wikipédia Incircle and excircles of a triangle – Wikipedia The incenter of a triangle – Math Open Reference – Animation, accès à d'autres sujets en bas de page Angle bisectors on circumcircle – Cut-the-knot Solving mathematcial problems – A personal perspective – Terence Tao – Problem 4.1 page 50
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