Brèves de maths 12

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BRÈVES de MATHS – Page 12

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

220. Boules de couleurs
2 boules de 2 couleurs Nous disposons de 2 boules de 2 couleurs. Combien de possibilités, sachant que les boules peuvent être de la même couleur? Elles sont toutes les deux de la même couleur ou alors de couleurs différentes. Soit 4 possibilités 3 boules de 2 couleurs Dans ce cas, la première boules peut être verte ou rouge, avec à chaque fois toutes les possibilités avec deux couleurs. Soit 2 x 4 = 8 possibilités 5 boules de 3 couleurs La table de droite, pour n = 5 et k =3, indique que la quantité de possibilité de colorer 5 boules de 3 couleurs est 3⁵ = 243		Dénombrement Chaque boule est susceptible de prendre l'une des deux couleurs: 2 fois pour la première; 2 fois pour la deuxième et 2 fois pour la troisième. Au total: 2 x 2 x 2 = 2³ = 8 possibilités. Cas général Aves k couleurs, il y a k possibilités pour chaque boule. Avec n boules, il y a kⁿ possibilités. Table des possibilités
Pour en savoir plus	>>> Boules et couleurs		>>> Dénombrement – Débutants >>> Dénombrement – Index

221. Nombre 12 – Douze
Identité: 12 = 2² x 3 Diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6, 12; Somme: 28 C'est un nombre abondant car 28 – 12 = 14 > 12. C'est le plus petit. 12, c'est une douzaine; 12 x 12 = 12² = 144, c'est une grosse. Propriétés Le nombre 12 est pair. Sa quantité de diviseurs explique son adoption pour compter et partager (shilling = 12 pences) comme pour les heures ou pour le commerce (œufs). Curiosités 12 = 3 + 4 + 5 et 6 + 7 + 8 = 21 (son retourné). 12 = 1! x 2! x 3! 400 / 33 = 12,121212… 12² = 144 et 441 = 21² Biologie Les personnes atteintes d'hexadactylie sont plus nombreuses que ce que l'on croit: ils ont 2x6 doigts aux mains. Poésie: alexandrin = vers à douze pied. Ex: On a souvent besoin d'un plus petit que soi.		Géométrie Un polygone à 12 côtés est un dodécagone. Un polyèdre à 12 faces est un dodécaèdre. Un cube comporte 12 arêtes. Pentaminos Il existe 12 manières différentes d'assembler cinq carrés et former les pentaminos. Horloge La journée compte deux fois 12 heures, soit deux tours d'horloge pour la petite aiguille. Un jour = 1 440 minutes = 10 x 12².
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Pour en savoir plus	>>> Nombre 12 – Culture >>> Nombre 12 – Maths >>> Horloge		>>> Base 12 >>> Nombres abondants >>> Dodécagone >>> Pentaminos

222. Le duo Babbage / Ada
Charles Babbage (1791-1871)		Ada Lovelace (1815-1852)
Premier ordinateur du monde Machine analytique de Babbage La machine comprend déjà une partie arithmétique et logique, un contrôle par boucles, des branchements conditionnels. Cet ensemble mécanique devait être actionné par un moteur à vapeur. Babbage ne l'a jamais réalisée faute de financements. Caractéristiques Elle fonctionne en base 10 (pignons dentés à 10 positions); précision à 40 décimales; une mémoire (magasin) de 1000 nombres de 50 chiffres. Elle est pilotée (programmée) à l'aide de cartes perforées. Son fils fera la démonstration de son véritable fonctionnement. Elle sera effectivement construite en 1991 et fonctionnera comme prévu.		Premier programme informatique au monde Ce programme est destiné à fonctionner sur une machine. C'est un algorithme de calcul des nombres de Bernoulli, développé par Ada. Femme mathématicienne et informaticienne Malgré sa santé fragile, elle étudie et développe les mathématiques avec Mary Somerville et Auguste De Morgan. Elle est passionnée par les travaux de Babbage qu'elle rencontre à 17 ans. En 1943, à 27 ans, elle publie un mémoire exceptionnel montrant tous les usages de telles machines, au-delà du simple calcul numérique.
Pour en savoir plus	>>> Charles Babbage >>> Ada Lovelace		>>> Ordinateur – Fonctionnement >>> Nombres de Bernoulli

223. Triangles magiques
Consignes Comment disposer les nombres de 1 à 6 de sorte que la somme sur chaque côté du triangle soit identique. Solutions Il existe seulement quatre solutions de base et toutes les rotations et réflexions possibles. Remarquez que les triangles de droites sont les compléments à 7 de ceux de gauche: 1 + 6 = 7, 5 + 2 = 7, 3 + 4 = 7 Sommes magiques En ajoutant les trois sommes: 3S = tous les nombres de 1 à 6 (= 21) plus les sommets (qui comptent double). Au minimum, les sommets valent 1, 2 et 3 et la somme devient: 21 + 1 + 2 + 3 = 27 pour 3S. Soit: Smin = 27 / 3 = 9 Au maximum, les sommets valent 3, 4 et 5 et la somme devient: 21 + 4 + 5 + 6 = 36 pour 3S. Soit: Smax = 36 / 3 = 12.		Les quatre seules solutions Trouver les solutions Le calcul montre que seules ces quatre sommes magiques 9, 10, 11 et 12 sont possibles. Avec ces sommes magiques et si peu de nombres à placer, il est facile de trouver les arrangements qui conviennent. Ce sont les partitions de la somme magique, comme 9, avec trois nombres différents parmi 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Il n'y a que trois possibilités: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4.
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Pour en savoir plus	>>> Polygones à périmètre magique		>>> Triangles >>> Partition des nombres

224. Cercles et triangles équilatéraux
La figure Deux cercles et deux triangles équilatéraux construits sur les cordes de la manière indiquée. Propriété remarquable quelle que soit la position du point M: P est toujours sur MN. Démonstration On suppose MN et MP non alignés et on calcule les angles. Angles B et C = 60° dans les triangles équilatéraux. Angle A + B = 90° avec le triangle inscrit ayant un diamètre pour hypoténuse. Angle A, avec MN pour côté: 90 – 60 = 30° Angle A', avec MP pour côté: 1/2 de C = 30°, car ils interceptent le même arc. Les angles A et A' sont égaux. Conclusion, MP et MN ont la même orientation, les points M, P et N sont alignés. Le sommet P du petit triangle est situé sur un des côtés du grand triangle.
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Pour en savoir plus	>>> Cercles et triangles équilatéraux >>> Angles dans le cercle	>>> Cercle >>> Triangle équilatéral

Auteur de cette trouvaille: Jean-Louis Breuil

225. Partitions des entiers avec 1 et 2
Ce tableau présente les compositions des nombres de 1 à 6: partitions avec autorisation des permutations. On se limite aux additions avec les nombres 1 et 2 exclusivement. Voyez la construction: 1. Recopiez la composition précédente et ajoutez 1; 2. Recopiez la composition d'avant et ajoutez 2. Lecture. colonne du 3, par exemple: 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 1 + 2 Pour le nombre 6: On retrouve toutes les compositions du 5 en ajoutant 1. Facile! Ensuite, pami toutes ces nouvelles combinaisons, il est possible de remplacer les deux 1 finaux par un seul 2. Or, c'est la même quantité que pour le 4 à laquelle on a ajouté 1 pour faire le 5, puis 1 pour faire le 6. Soit la formule générale: D(n + 1) = D(n) + D(n–1) C'est typiquement la formule de récurrence de la construction des nombres de Fibonacci. Les compositions avec les nombres de 1 à k se calculent en utilisant les k-bonacci
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Pour en savoir plus	>>> Compositions avec 1 et 2 >>> Partitions – Index	>>> Suite de Fibonacci >>> Suites k-bonacci

226. Pesée des quatre billes – Énigme
Énigme Vous disposez de quatre billes absolument identiques visuellement. Une parmi les quatre est plus lourde ou plus légère (ambivalence), sans que nous sachions si c’est l’un ou l’autre. En deux pesées sur une balance à deux plateaux trouvez l'intrus et sa nature. Solution On effectue les deux pesées indiquées et on note les résultats de pesées en plus, égal, moins (+ , 0 , –). La conclusion est à lire dans le tableau. Exemple de lecture du tableau En reprenant l'exemple, sur la troisième ligne à gauche: (0 +) signifie équilibre et plateau gauche descend, alors la bille 3 est plus légère (3–). Oups! Si on obtient deux fois l'équilibre, c'est la bille mise de côté (la 4 en dernière ligne) qui est fautive, mais on ne sait dire si elle est plus lourde ou plus légère.		Les deux pesées à effectuer La bille 4 est laissée de côté dans les deux pesées Sur cet exemple: la première pesée montre que la bille fautive est la bille 3 ou la bille 4; la seconde pesée indique que c'est la bille 3; En plus, comparée à la bille 1 normale, la bille 3 est plus légère. Notation: 0 + pour équilibre puis plateau gauche descend. Tableau des conclusions en fonction des résultats de pesée
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Pour en savoir plus	>>> Énigme de la pesée des quatre billes – Explications >>> Énigmes de pesées – Débutants et accès à tous les énigmes de pesées

227. Écart record entre premiers
L'écart (prime gap) entre les nombres premiers 317 et 331 est de 14. Il n'y a pas d'autres nombres premiers entre les deux. Le théorème des nombres premiers indique que l'écart moyen entre deux premiers consécutifs jusqu'à n est égal à ln (n). Le mérite d'un écart entre premiers est le rapport entre cet écart et l'écart moyen à ce niveau de nombres. Pour le couple (314, 331) on a m = 14 / ln(314) = 2,43… Zhang a prouvé qu'il y une infinité d'écart plus petits que 70 000 000. En fait, asymptotiquement, 99% des premiers seraient suivi d'un premier avec un écart de plus de 70 millions.		En théorie, l'écart entre nombres premiers consécutifs peut être aussi grand qu'on le souhaite! En effet: n! + m est divisible par m pour m n; alors il y a n – 1 nombres composés consécutifs de n! + 2 à n! + n; soit un écart égal à n quelconque. C'est une autre chose que de les connaitre. La course au plus grand écart est intense, et en 2017, le mérite connu dépasse 40. Record 2017 m = 41, 93 pour un nombre de 8 350 chiffres par Jonny Frey (Gapcoin).
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228. Énigme des quatre verres
Énigme Quatre verres sont disposés en carré sur un plateau tournant. Certains sont à l'endroit et les autres à l'envers. Les yeux bandés, il vous est demandé de remettre tous les verres dans le même sens en un minimum d'opérations. Une opération consiste à faire tourner le plateau. Vous prenez deux verres et vous pouvez: les laisser tels quels, en retourner un, ou les retourner tous les deux. Un observateur vous dit "FIN" si les verres sont tous dans le même sens (ou fait sonner une cloche).		Algorithme en cinq opérations 1) Mettre à l'endroit deux verres en diagonale; 2) Mettre à l'endroit deux verres adjacents; 3) Sur une diagonale, si l'un est à l'envers le retourner. FIN. Sinon, en retourner un à l'envers. 4) Retourner deux verres adjacents 5) Retourner deux vers en diagonale
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229. Théorie – Théorèmes – Axiomes
La géométrie que nous apprenons en classe forme une théorie mathématique. Il existe d'autres géométries. Elle repose sur des fondements constitués de: *quelques vérités évidentes énoncées sans preuve, appelées axiomes (deux choses égales à une troisième sont égales entre elles),* ou encore** d'affirmations moins évidentes, mais qu'il faut admettre, appelées postulats (par deux points, il passe une ligne droite et une seule). En mathématique, les affirmations, les vérités, les énoncés vrais … sont des assertions. Contraire de: hypothèses, suppositions, allégations, conjectures …		La théorie de la géométrie est construite sur ces fondements et, via un raisonnement logique, appelé démonstration, elle énonce des vérités, appelées théorèmes ou parfois lemmes, s'il s'agit de théorèmes dans une étape de démonstration. Parfois, une vérité forte se révèle sans que la démonstration ait été trouvée, c'est une conjecture. En attente de preuve, la conjecture peut être utilisée comme hypothèse pour poursuivre le raisonnent et déduire de nouvelles conclusions qui deviendront théorèmes si la conjecture est prouvée

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230. Factorielle
Factorielle n Le terme "factorielle n", noté n!, est un raccourci pour nommé le produit de n nombres consécutifs à partir de 1. Produit de nombres consécutifs Le produit de k nombres consécutifs est divisible par k! Ex: 7 . 8 . 9 = 504 = 6 x 84 = 3! x 84 11.12.13.14.15 = 360 360 = 120 x 3003 Factorielle somme La factorielle d'une somme est divisible par le produit des factorielles des termes. Ex: (3 + 4)! = 1.2.3.4.5.6.7 est divisible par (1.2.3)(1.2.3.4) = 3! . 4! Cette propriété se démontre facilement: 1.2.3.4.5.6.7 = K . (1.2.3)(1.2.3.4) ? Déjà divisible par 4! (en rose) 5.6.7 = K . 1.2.3 = K . 3! C'est vrai en application de la propriété précédente: le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 3!		Dénombrer Chacun choisit son fruit, l'un après l'autre. Il y a 24 possibilité de répartition. Permutations La quantité de permutations de n objets est égale à factorielle n. Ex: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (cb,a) 3! = 6 permutations de trois objets.
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231. Nombre à trouver
Exemple d'énigme Trouver un nombre comportant trois chiffres (de 0 à 9) tels que: ABC = 5 × A . B . C Décodage Alors que A.B.C est le produit de trois nombres A, B et C, le premier membre ABC représente un nombre à trois chiffres A, et C. Notations La multiplication se note X entre nombres, parfois remplacé par un point. Elle se note par un point entre lettres et souvent sans point lorsqu'il n'y pas de confusion possible. Recherche: le nombre est divisible par 5 et se termine par 0 ou 5. Seul 5 est valable, car 0 entrainerait un produit nul. En développant l'égalité: Premier membre impair => second membre impair => A et B impairs. Essais pour A = 1 => 21 + 2B = B => B = 7 Les autres (A = 3, 5, 7, 9) sont infructueux. Seule solution: 175 / 5 = 1 x 7 x 5		Nombre de Zuckerman Notation [175, 5] 175 est égal à 5 fois le produit de ses chiffres Autres cas: Nombres de Zuckerman 72 pour k jusqu'à 100 et n jusqu'à 100 000. [36, 2], [15, 3], [24, 3], [384, 4], [175, 5], [12, 6], [735, 7], [128, 8], [672, 8], [135, 9], [144, 9], [1575, 9], [11, 11], [1296, 12], [624, 13], [3276, 13], [224, 14], [816, 17], [216, 18], [432, 18], [34992, 18], [1197, 19], [12768, 19], [315, 21], [132, 22], [3168, 22], [115, 23], [6624, 23], [8832, 23], [2916, 27], [1176, 28], [1344, 28], [3915, 29], [93744, 31], [51975, 33], [82944, 36], [1184, 37], [31488, 41], [77616, 44], [77175, 45], [4416, 46], [12288, 48], [1715, 49], [18816, 49], [612, 51], [312, 52], [212, 53], [112, 56], [1416, 59], [6144, 64], [6912, 64], [4224, 66], [2144, 67], [35175, 67], [9315, 69], [13248, 69], [13824, 72], [1332, 74], [28416, 74], [16632, 77], [33264, 77], [11664, 81], [23328, 81], [13932, 86], [9612, 89], [89712, 89], [91728, 91], [2232, 93], [48128, 94], [18432, 96], [21728, 97], [42336, 98]
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Pour en savoir plus	>>> Nombre deviné – 175 >>> Multiplication – Notations >>> Nombres de Zuckerman		>>> Même question avec la somme ABC = k (A + B + C)

232. Nombre sans facteur carré
Définition Un nombre carré est le produit de deux nombres identiques. Un nombre avec facteur carré est un multiple d'un nombre carré. Tous les autres sont sans facteurs carrés. Propriété Tout nombre se décompose en un produit de facteurs uniques (théorème fondamental de l'arithmétique). Les facteurs d'un nombre sans facteur carré sont tous uniques (sans puissance).		Exemple Liste jusqu'à 100 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97.
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233. Pizza – Choix de la taille
Le choix Vous avez le choix entre une grande pizza de 46 cm ou deux petites pizzas de 30 cm. Vous en aurez plus en choisissant la 46. Cela vous surprend ? Calcul des aires		Certains disent que ce qui est le meilleur c'est la croûte. Alors, il est préférable de choisir les deux petites.
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234. Deviner les nombres
Le tour de magie Le calculateur prodige Giacomo Inaudi savait trouver en 30 secondes les quatre nombres consécutifs dont on donnait la somme des carrés. Emploi d'une formule simple; mais encore fallait-il savoir calculer une pseudo racine carrée (produit de deux nombres consécutifs). Formule utilisée (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 4n² + 4n + 6 = 4 n (n + 1) + 6 Avec cinq carrés (n – 2)² + (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 5n² + 10		Exemple La somme des quatre carrés est 2 606. Calcul pour retrouver les 4 nombres Retirer 6: 2 600 Diviser par 4: 650 Produit de deux nombres consécutifs: 650 = 25 x 26 Nombres cherchés: 24, 25, 26, 27. En effet: 24² + 25² + 26² + 27² = 2 606 Encore plus facile avec 5 nombres On donne la somme: 3 135 Retirer 10 : 3 125 Diviser par 5: 625 Prendre la racine carrée: 25 Nombres cherchés: 23, 24, 25, 26, 27. En effet: 23² + 24² + 25² + 26² + 27² = 3 125
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235. Angles dans trois carrés
Défi Les trois angles dessinés dans ces trois carrés totalisent 90°. Est-ce évident à démontrer ?
Démonstration quasi-muette Une duplication des carrés aide à réaliser une démonstration simple. L'angle A est égal à 45° (diagonale du carré). Le triangle de couleur rose est isocèle rectangle: isocèle car deux côtés égaux et rectangle car les angles B et D (dont la somme est 90°), reportés à côté du sommet du triangle isocèle, montrent que l'angle de ce sommet est égal à 90°. Or, dans ce type de triangle, les angles à la base mesurent 45°. Dans le coin bas-droit de la figure, les trois angles représentent bien A, B et C et leur somme vaut 90°.
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236. Nombres de Proth et de Sierpinski
Nombres de Proth: nombres de la forme: C = k . 2ⁿ + 1 Avec 0 < k_impair < 2ⁿ Certains critères permettent de détecter s'ils sont premiers ou composés. Nombre de Sierpinski: valeur de k dans un nombre de Proth tels que N n'est jamais premier quelle que soit la valeur de n. On ne sait pas encore de manière certaine quel est le plus petit. En début 2019, cinq nombres inférieurs au plus petit connu résistent encore aux tests car très grands. Ils étaient 17 au début de ce siècle.		Plus grand nombre de Proth premier connu 10 223 x 2^311721165 + 1 C'est le neuvième plus grand premier connu en début 2019. Plus petits nombres de Sierpinski 78 557 est le plus petit connu. 271 129 est le deuxième plus petit connu et le plus petit premier connu.
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237. Multiplication rapide à pivot
La méthode est illustrée par un exemple: 23 x 27. On choisit un nombre "facile" proche des deux nombres à multiplier. Disons 20. Les écarts sont 3 et 7 (en rouge) Le produit se calcule simplement en multipliant les deux nombres aux coins en vert (20 x 30 = 600) et en lui ajoutant le produit des nombres en rouge (3 x 7 = 21). Bilan: 23 x 27 = 600 21 = 621.
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238. Divisibilité par 11
Pour savoir si un nombre est divisible par 11: Soustraire les unités du nombre pour former un nouveau nombre. Recommencer cette opération avec le nouveau nombre. Si le nouveau nombre est divisible par 11, alors le nombre initial l'est.
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239. 7 parmi 15: combien de possibilités ?
On cherche des quantités de combinaisons. Par exemple: deux objets parmi quatre ou cinq parmi quinze. Exemple simple Sélection de deux nombres parmi quatre (1, 2, 3, 4): 12, 13, 14, 23, 24, 34 Soit 6 combinaisons. On calcule: On retrouve le 4 et le 2, et deux nombres en haut et en bas. Avec sept nombres parmi 15 On met 15 en tête suivi de sept nombres en haut, puis 7 suivi de sept nombres en bas.		Sélection de 1 à 15 parmi 15 Ce tableau montre toutes les possibilités de choix de 0 à 15 nombres parmi 15. Remarquez la symétrie: autant de combinaisons de 7 parmi 15 que de 8 parmi 15, par exemple. Probabilité de tirer une combinaison de sept nombres donnés C'est l'inverse des nombres affichés. Probabilité de tirer une combinaison de sept nombres parmi quinze:
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220. Boules de couleurs

221. Nombre 12 – Douze

222. Le duo Babbage / Ada

223. Triangles magiques

224. Cercles et triangles équilatéraux

225. Partitions des entiers avec 1 et 2

226. Pesée des quatre billes – Énigme

227. Écart record entre premiers

228. Énigme des quatre verres

229. Théorie – Théorèmes – Axiomes

230. Factorielle

231. Nombre à trouver

232. Nombre sans facteur carré

233. Pizza – Choix de la taille

234. Deviner les nombres

235. Angles dans trois carrés

236. Nombres de Proth et de Sierpinski

237. Multiplication rapide à pivot

238. Divisibilité par 11

239. 7 parmi 15: combien de possibilités ?