NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/03/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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BRÈVES de MATHS – Page 14

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

260. Nombre 100
Linguistique Cinq-cents euros, mais cinq-cent-dix euros. Hecto = x 100 et Déci = 1/100 Are = 100 m² (carré de 10 m de côté) Siècle = 100 ans Quintal = 100 kg Hécatombe = sacrifice de 100 bœufs. Propriétés Divisible par: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 Pépites numériques 100 = 10² = 1 + 8 + 27 + 64 100 = 36 + 64		Somme des impairs et somme des premiers 100 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 100 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 Opération pannumérique 100 = 123 – 45 – 67 + 89 Tous les chiffres de 1 à 9 et dans l'ordre Jeu des quatre 4 Rappel: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 Autres langues Phonétique Cens (censitaire) / Cent = 100 / San Antonio Sang des veines / Sans vie S'en va et revient / Sent fort
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Pour en savoir plus	>>> Nombre 100 >>> Pépites numériques		>>> Cent avec les chiffres >>> Jeu des quatre 4

261. Âne Rouge
Le jeu de l'âne rouge (red donkey) est un cousin du jeu de taquin. C'est un jeu de déplacement de pièces dans un cadre défini. Ce jeu est réalisable et la solution la plus rapide exige 81 déplacements. Solution publiée en 1964 par Martin Gardner et depuis, vérifiée par ordinateur. De nombreuses variantes sont apparues comme jeux de société et surtout comme jeux vidéo. Le Sokoban, par exemple, présente un entrepôt dans lequel un personnage doit déplacer des caisses. La programmation de la résolution de tels jeux n'est pas des plus simples du fait de l'explosion combinatoire: emballement de la quantité de situations à analyser.		Configurations départ et arrivée Vous pouvez découper des morceaux de carton et réaliser vous-même ce puzzle.
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Pour en savoir plus	>>> Puzzle de l'âne rouge >>> Jeu de taquin		>>> Énigmes et puzzles – Index

262. Pseudo-premiers – 341
Théorème Les Chinois formulaient cette hypothèse: Pour tout premier p, 2^p – 2 est divisible par p. C'est vrai et cela se démontre avec le petit théorème de Fermat. Exemples 2^3 – 2 = 6 et 6/3 = 2 2^5 – 2 = 30 et 30/5 = 6 2^11 – 2 = 2 046 et 2 046/11 = 186		Réciproque: Est-ce que: tous les nombres en 2^p – 2, divisible par p sont premiers? Réponse: en majorité, oui, mais pas toujours. Plus petit cas 2^341 – 2 est divisible par 341 et, pourtant 341 = 31x11 n'est pas premier. Pseudo-premiers On aurait pu imaginer trouver tous les nombres premiers en testant simplement cette relation. Tous les nombres qui passent le test sans être premiers comme 341 sont appelés nombres pseudo-premiers.
Brèves associées	>>> Petit théorème de Fermat >>> Nombres premiers		>>> Algorithme de recherche des premiers
Pour en savoir plus	>>> Nombres pseudo-premiers		>>> Nombre 341

263. Les nombres k-bonacci
Fibonacci : somme des deux précédents 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 Ex: 8 = 3 + 5. Tribonacci : somme des trois précédents 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415 Trétranacci : les quatre précédents 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953		Ces nombres sont les coefficients des développements d'un polynôme-fraction. Identités valables pour x compris entre 0 et 1. Fibonacci Tribonacci Trétranacci
Un nombre k-bonacci de rang n indique la quantité de partitions du nombre n avec les nombres de 1 à k.		Exemple Fibonacci 5 = 8 => il y a 8 partitions du nombre 5 avec les nombres 1 et 2. Ce sont: 1+1+1+1+1; 1+1+1+2; 1+1+2+1; 1+2+1+1; 2+1+1+1; 1+2+2; 2+1+2; 2+2+1.
Brèves associées	>>> Suite de Fibonacci		>>> Fibonacci et programme Scratch
Pour en savoir plus	>>> Suite de Fibonacci généralisées >>> Quantité de partitions et Fibonacci		>>> Programmation – Index

264. Carré alpha-magique
Le carré avec des nombres écrits en toutes lettres est magique: même somme en lignes, colonnes et diagonales. Voir sa transcription en tableau de nombres (jaune à gauche). En plus, la quantité de lettres forme le carré magique de droite. Les nombres du second carré sont des nombres consécutifs (de 5 à 13). C'est un véritable carré alpha-magique. Et, c'est le plus petit en langue française lorsqu'on ne compte pas les espaces et les traits d'union.
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Pour en savoir plus	>>> Carrés alpha-magiques >>> Nombres en toutes lettres		>>> Quantité de lettres dans les nombres >>> Carré magiques de toutes sortes

265. Somme de produits de premiers
Somme de deux premiers La somme de deux nombres premiers n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme. Somme de deux produits de premiers La somme de deux produits de nombres premiers distincts n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme. Cas de 3 x 11 + 5 x 13 = 98 98 est un nombre composé divisible par 2 et par 7, mais pas par l'un des quatre premiers de l'opération: 3, 5, 11 et 13.		Exemple avec deux premiers Si l'un des termes de la somme est divisible par l'un des premiers, l'autre ne l'est pas. En effet, les nombres premiers sont premiers entre eux et la division de l'un par l'autre donne une fraction irréductible. Multiplier chaque terme de la somme par un nombre premier différent ne change pas cette propriété: l'un des termes reste irréductible. Exemple avec deux sommes de produits de premiers
Brèves associées	>>> Entiers avec somme de chiffres identique et divisibilité par 9 >>> Premiers avec somme de chiffres identique et divisibilité par 6
Pour en savoir plus	>>> Somme de produits de premiers et divisibilité par un premier >>> Fraction irréductible >>> Nombres premiers entre eux

266. Programme de Langlands
"Le plus important concept des mathématiques qui est apparu dans ces cinquante dernières années. La Grande Théorie d'unification des mathématiques. Ce champ de recherche fascinant jette des ponts prometteurs entre des domaines mathématiques qui paraissent à des années-lumière les uns des autres: algèbre, géométrie, théorie des nombres, analyse et physique quantique." – Edward Frenkel – Amour et Maths "Expliquer ce qu’est le programme de Langlands n’est pas chose facile. Celui-ci mélange l’analyse harmonique sur les groupes topologiques non commutatifs, l’arithmétique des groupes de Galois de corps de nombres et la géométrie arithmétique. Très concrètement, il s’agit de comprendre certaines séries génératrices de la forme:		Edward Frenkel (né en 1968 en Russie) est professeur de mathématiques à Berkeley. Mathématicien juif prodige, empêché dans ses études supérieures, il répond positivement à l'appel des mathématiciens américains. Ses travaux sur l'algèbre affine de Kac-Moody, lui offriront l'occasion de participer au programme de Robert Langlands. Il se fera remarquer pour avoir tatoué la formule de l'amour sur le corps de sa compagne.
Pour en savoir plus	>>> Programme de Langlands >>> Fonction Zêta		>>> Symétries >>> Géographie – Index

Situation de l'Université de Californie-Berkeley

267. Abondants et déficients
Diviseurs et leur somme Le nombre 12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ces nombres sont les diviseurs de 12. En retirant le nombre lui-même, on parle des diviseurs propres (ou diviseurs stricts). Pour le nombre 12, la somme des diviseurs propres est: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Cette somme 16 dépasse le nombre générateur 12. On dit que le nombre 12 est abondant. Dans le cas inverse, comme avec 14, la somme des diviseurs propres (1 + 2 + 7 = 10), est inférieure au nombre; il est déficient. En cas d'égalité, le nombre est dit parfait, comme: 6, 28 …		Trois catégories de nombres selon la somme de leurs diviseurs propres Nombres premiers Tous les nombres premiers, comme 13, ont pour seul diviseur strict le nombre 1. La somme vaut 1. Tous les nombres premiers sont déficients.
Brèves associées	>>> Nombres parfaits >>> Nombres 6 et 28 – Parfaits		>>> Nombres premiers >>> Nombres S-parfaits
Pour en savoir plus	>>> Nombres abondants / parfaits / déficients

268. Quatre opérateurs binaires
Quatre opérateurs binaires, chacun défini par a et n. Chaque opération correspond à une itération de la précédente. La tétration est le quatrième opérateur binaire, aussi appelé super exponentiation ou hyper-4.		Addition 4 + 3 = 7 Multiplication 4 x 3 = 12 Exponentiation 4^3 = 64 Tétration ^34 = 1,34 10^154
Brèves associées	>>> Somme de produits de premiers – Divisibilité
Pour en savoir plus	>>> Addition >>> Multiplication			>>> Exponentielle >>> Tétration

269. Sangakus
Sangaku Formes géométriques japonaises qui figuraient sur des tablettes votives. Occasion de résoudre des énigmes géométriques astucieuses. Exemple avec ces deux roues Avec cet exemple simple, on demande à exprimer la distante entre les points A et B. En mettant en œuvre le fameux théorème de Pythagore, on montre facilement que la distance est telle que: AB² = 4 R . r Le carré de la distance est égal à quatre fois le produit des deux rayons.
Brèves associées	>>> Théorème de Pythagore		>>> Lemniscate >>> Cercles et triangles équilatéraux
Pour en savoir plus	>>> Sangakus – Autres exemples		>>> Deux cercles dans le carré

270. Nombre 2019
Écriture Français: Deux-mille-dix-neuf Anglais: Two thousand nineteen Allemand: Zweitausend und neunzehn Identité 2 018 = 3 x 673 Diviseurs: 1, 3, 673, 2 019; somme: 2 696 Nombre déficient (2 696 – 2 019 = 677 < 2 019 2018 = 220 220 2 en base 3 (ternaire) Somme avec les chiffres de 1 à 6 2 019 = 1^4+ 2^4 + 3^4 + 5^4 + 6^4 Différence de deux carrés Comme tous les nombres impairs: 2 019 = 1 010 – 1 009 = 1 010² – 1 009²		Le nombre 2019 est heureux 2² + 0² + 1² + 9² = 86 8² + 6² = 100 1² + 0² + 0² = 1 Cycle qui finit par 1. Somme de trois consécutifs Comme tous les nombres divisibles par 3: 2 019 = 672 + 673 + 674 = 3 x 673 Privé du 0 ses facteurs sont privés du 6 2 019 = 3 x 673 219 = 3 x 73 Jeu avec les chiffres de 2019
Brèves associées	>>> Nombre 2 018		>>> Nombre 10 >>> Nombre 100
Pour en savoir plus	>>> Nombre 2019 >>> Nombres en lettres (orthographe)		>>> Jeux avec 2019 >>> Nombres impairs

271. Couronne
Deux cercles de même centre et de rayon R et r, qui délimitent un anneau bleu appelé couronne. Aire de la couronne: Une corde du grand cercle tangente au petit cercle de longueur 2c, et un cercle ayant ce diamètre. Calcul de c avec théorème de Pythagore: Aire du disque bleu: L'aire de la couronne est égale à celle du disque dont le diamètre est la corde du grand cercle tangente au petit cercle. Astuce: pour connaitre l'aire de la couronne alors que le disque central est inaccessible (rempli de lave), il suffit de mesurer cette corde (2c).			Surfaces en bleu: égales
Brèves associées	>>> Théorème de Pythagore	>>> Cercle et angles >>> Lemniscate
Pour en savoir plus	>>> Couronne	>>> Cercle – Index

272. Médiatrice – Construction
Perpendiculaire au milieu de AB: médiatrice Cercle de centre A, puis cercle de centre B de même rayon. Joindre les intersections M et N. Le point P, intersection de MN et de AB, est le milieu de AB. MN est perpendiculaire à AB.
Brèves associées	>>> Triangles – Types		>>> Angles dans trois carrés
Pour en savoir plus	>>> Constructions usuelles		>>> Constructibilité

273. Nombres proniques ou oblongs
Un nombre pronique est le produit de deux nombres successifs: Np = n (n + 1) Un nombre pronique est la somme de nombres pairs consécutifs: 2 + 4 + 6 = 12 et 2 + 4 + 6 + 8 = 20 C'est aussi la quantité associée à un rectangle dont longueur et largueur sont égales à 1 près (Illustration). C'est le double d'un nombre triangulaire (Illustration: noir + rouge).		Liste des 25 plus petits 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650
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Pour en savoir plus	>>> Nombres proniques >>> Nombres par leur nom – Portail		>>> DicoNombre – Portail

274. Récursivité – Exemple du calcul de la puissance
Exercice illustrant le fonctionnment de la récursivité: trouver un algorithme de calcul rapide de la puissance d'un nombre entier (sans utiliser la fonction puissance).		Principe utilisé Puissance paire: n^4 = n^2 x n^2 Puissance impaire: n^5 = n x n^2 x n^2
La récursivité fonctionne de la manière suivante, par exemple pour n^4: Descente Pour 4 (pair), le résultat R est égal au carré du résultat de la puissance divisée par 2. Pour 2 (pair), idem: R = résultat de la puissance divisé par 2, au carré. Pour 1 (impair), on multiplie le résultat de la puissance inférieure par n. Pour 0, le résultat vaut 1. Remontée Le programme conserve les résultats intermédiaires en mémoire, et, en remontant, il remplace les résultats en attente par leur valeur: Sachant que pour 0, R = 1 Pour 1: R = n x 1 = n Pour 2: R = n^2 Pour 4: R = (n^2)^2 = n^4		Récursivité pour la puissance 4 Récursivité pour la puissance 5
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Pour en savoir plus	>>> Récursivité et puissance: explications et programmation (Python et Maple) >>> Récursivité en informatique

275. Pourcentages – Truc de calcul mental
Si le calcul du pourcentage vous semble compliqué, inversez le calcul … Sur l'ardoise, 8% de 75, c'est un peu dur; l’inverse, calculer 75 % de 8, revient à trouver les 3/4 de 8 soit 6, ce qui est bien plus facile. Sans doute que, sauf une certaine habitude, 13,5 % de 10 vous semblera hors de portée, alors que 10% de 13,5 vous conduira immédiatement à 1,35.
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276. Partition en trois cubes
Ce pourrait être un jeu: comment atteindre chacun des nombres avec la somme de trois cubes ? 2 = 7^3 – 6^3 – 5^3 ; 3 = 4^3 + 4^3 – 5^3 ; … 2 = 343 – 216 – 125; 3 = 64 + 64 – 125; … C'est devenu un défi pour nombre de mathématiciens célèbres, puis un exploit d'informaticiens ayant accès à des superordinateurs. En 2019, Andrew Booker trouve la solution pour les nombres 33, 42 et 795. Désormais (sept. 2019), il reste dix nombres résistants jusqu'à 1000: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 et 975.			33 = 8 866 128 975 287 528^3 + (–8 778 405 442 862 239)^3 + (–2 736 111 468 807 040)^3 = (6,969… – 6,764… – 0,205…) 10^47 Trouver cette simple égalité a nécessité plusieurs jours de calculs et la mise en œuvre d'un algorithme puissant pour réduire la quantité de calculs.
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Pour en savoir plus	>>> Problème des trois cubes >>> Nombres cubes >>> Nombre 33 >>> Nombre 42	>>> Jeux avec les nombres – Index >>> Superordinateurs >>> Algorithmes

277. Labyrinthes
Énigme Ces deux labyrinthes en spirale sont différents. L'un est réalisé avec une corde raboutée et l'autre, de deux cordes raboutées. Lequel est l'un et lequel est l'autre ?		Solution Avec celui de droite, on entre dans le labyrinthe et on en ressort. Celui- de gauche est en cul-de-sac.
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Pour en savoir plus	>>> Labyrinthes		>>> Jeux et énigmes – Index

278. Multiplications originales
Classique Celle apprise à l'école.		Méthode de la division par 2 dite aussi, du cancre.	Méthode Karatsuba utilisée par les ordinateurs car elle exige moins de multiplications élémentaires ("coûteuses").
Nécessite quatre multiplications élémentaires.		L'un des nombre est divisé par 2 (entiers) et l'autre multiplié par 2. Somme à droite des lignes impaires à gauche (en rouge).	Nécessite trois multiplications élémentaires (en haut) et la somme indiquée en jaune, avec au mileu ce calcul spécial: produit(1) + produit(2) – produit(3) = 10 + 18 – 1.
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279. Tirage des boules
Exemple simple On tire deux boules, l'une après l'autre dans une urne contenant trois boules numérotées. Il y a six possibilités de tirages: les boules 1 puis 2 ou l'inverse, les balles 1 puis 3 ou l'inverse et les boules 2 puis 3 ou l'inverse.		Cas général Il s'agit du tirage de p objets parmi n. On tire une balle l'une après l'autre, sans la remettre dans l'urne. Et, l'ordre de tirage des boules numérotées est important. On dit qu'il s'agit d'un arrangement de p parmi n. Calcul Exemple simple Exemple de 5 boules parmi 16
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