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BRÈVES de MATHS – Page 61

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

1200. Programme Langlands
Approche Le Programme de Langlands est le plus important des concepts mathématiques des dernières décennies. Inutile de dire que ce concept est hors de portée de la majorité d'entre nous, sauf à être titulaire d'un bon bagage supérieur en mathématiques. Unification mathématique Le Programme de Langlands conjecture l'existence de liens très profonds entre plusieurs domaines fondamentaux des mathématiques, notamment: L'algèbre et l'arithmétique (et plus généralement la théorie des nombres) via notamment les travaux sur la théorie de la résolution des équations algébriques prenant naissance dans les travaux sur les groupes de Galois. L'analyse harmonique qui consiste à s'intéresser aux phénomènes ondulatoires (ondes lumineuses, gravitationnelles, ou sonores) en les "dépliant" dans le domaine fréquentiel grâce aux séries ou transformées de Fourier. La géométrie qui, notamment, identifie la symétrie caractérisant un objet dont les propriétés sont conservées suite à un mouvement dans l'espace ou dans le temps.		À la recherche de l'unification des domaines mathématiques
Brèves associées	>>> Calcul différentiel et intégral	>>> Brèves Maths – Index
Pour en savoir plus	>>> Programme de Langlands >>> Conjecture de Brauer	>>> Transformée de Fourier >>> Structures algébriques

1201. Principe du transistor
Approche Comment démystifier le transistor ? Les transistors jouent un rôle essentiel dans tous les appareils électroniques: des téléviseurs aux ordinateurs en passant par les machines à laver. Les transistors sont des composants électroniques à base de semi-conducteur. Ils servent à la fois d'amplificateur et de commutateur. Principe d'amplification (radio, télévision …) Un transistor peut être comparé à robinet: Un petit tour de robinet (une petite augmentation de tension entre la base et l'émetteur) crée un débit important (une forte tension entre le collecteur et l'émetteur). Un petit signal fluctuant devient un plus grand signal fluctuant identique en forme. Principe de commutation (informatique) Dans ce cas, le transistor agit comme un interrupteur pour le courant électrique. Il ne passe pas (0) ou il passe (1). Des assemblages de transistors composent des nombres binaires, lesquels sont représentatifs de nombres décimaux ou de lettres formant des textes. Cette fonction du transistor se retrouve: dans les mémoires dans les circuits logiques (portes ET, OU, NON).		Composition Base: elle fonctionne comme une vanne qui contrôle le passage du courant entre collecteur et émetteur. Collecteur: point d'entrée du courant à réguler. Émetteur: point de sortie.
Brèves associées	>>> Microprocesseur		>>> Brèves Électronique – Index
Pour en savoir plus	>>> Composants électroniques – Index >>> Informatique – Index		>>> Circuits logiques >>> Puces de microprocesseurs >>> Numération binaire

1202. Éléments du cercle
Brèves associées	>>> Cercle – Formulaire		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Éléments du cercle		>>> Cercle – Index

1203. Cercle dans secteur
Construction Un secteur de rayon R et d'angle quelconque. Le cercle inscrit dans ce secteur; son rayon est r. La distance du sommet du secteur au point de tangence est noté x. Démontrer la relation indiquée entre R, r et x. Piste Une relation évidente est établie dans un triangle rectangle avec le théorème de Pythagore. La suite est pure affaire de calcul.
Brèves associées	>>> Segment – Aire inter-segments		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Cercle dans l secteur		>>> Aire du secteur

1204. Sens horaire
Horloge Les premières horloges furent inventées dans l'hémisphère nord. Le soleil s'y déplace d'est en ouest. Sur un cadran solaire, l'ombre du style se déplace dans le même sens que le Soleil. Le sens des aiguilles de l'horloge a donc été choisi par mimétisme avec celui du trajet du soleil. Maths Les mathématiciens disent que le sens horaire est le sens négatif de rotation. Le sens positif étant le sens antihoraire. La raison: la rotation simple qui fait passer des abscisses (axe des x) aux ordonnées (axe des y) est la rotation antihoraire. De plus, un angle orienté, compté à partir de l'axe x, produit un sinus et un cosinus positif si l'angle est orienté en antihoraire.
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Pour en savoir plus	>>> Horloge		>>> Temps – Index

1205. Nombres de la géométrie
Valeurs des nombres emblématiques des polygones et du cercle		Illustrations: longueurs des diagonales
Brèves associées	>>> Nombre d'or et Théorème de Ptolémée		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Longueur des diagonales des polygones		>>> Polygones

1206. Carré somme de cubes
Approche avec trois termes Somme des cubes de trois nombres consécutifs Quelles sont les valeurs de n pour que E soit un carré ? Et avec plus de cubes ? Seuls cas à trois termes pour n < 10^6 Seuls cas à quatre termes pour n < 10^6		Seuls cas à cinq termes (démontré) Seuls cas à six termes pour n < 10^6 Seuls cas à sept termes pour n < 10^6
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Pour en savoir plus	>>> Carrés somme de cubes >>> Somme de cubes		>>> Nombre 204 >>> Nombre 315

1207. Forme polygonale
Construction Une forme polygonale. Les longueurs des segments horizontaux et verticaux sont connues. Voir la figure. Quelle est la longueur du segment oblique? Aire de la surface bleue ? Segment oblique Les deux segments verticaux sont translatés sur le segment rose: Longueur 8 cm. Dans le triangle rectangle EFG, les côtés mesurent 8 cm et 6 cm. Avec le théorème de Pythagore: EF² = 8² +6² = 100 = 10² => EF = 10 cm Aire du polygone bleu A = Aire(AFEH) – Aire(BCGH) Aire du trapèze AFEH: ½ (AF + HE) × FG = ½ 10 × 8 = 40 Aire du carré: 4 × 4 = 16 A = 40 – 16 = 24 cm²		Figure initiale Calcul de la longueur du segment oblique
Brèves associées	>>> Polygones et leurs diagonales		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Théorème de Pythagore		>>> Trapèze >>> Carré

1208. Aires dans le triangle
Propriété: proportionnalité Un segment, dit cévienne, découpe le triangle quelconque en deux triangles: vert et bleu. Les aires de ces triangles sont proportionnelles aux longueurs des segments découpés sur le côté du triangle. Aires des deux triangles Connaissant l'aire du triangle complet et les longueurs découpées, on calcule l'aire du triangle vert et celle du triangle bleu:		Proportions pour toute cévienne dans un triangle quelconque (exemple numérique)
Brèves associées	>>> Aires – Comparaison – Triangles		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Aire du triangle		>>> Céviennes

1209. Pri
Approche Com
Brèves associées	>>> Mic	>>> Brèves Électronique – Index
Pour en savoir plus	>>> C	>>> C

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