Brèves de maths 46

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BRÈVES de MATHS – Page 46

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

900. Cordes égales
Problème Deux cercles sécants en D. Construire une sécante en D découpant deux cordes de même longueur. Construction Milieu B de AC, segment joignant les deux centres. Demi-droite BD. Perpendiculaire en D à BD. Intersections E et F. ED = DF. Explications Les trois parallèles AG, BD et CH découpent sur GH la même proportion 1/2 que sur AC. GD = DH Toutes les parallèles sont perpendiculaires à EF. Les cordes ED et DF sont coupées en leur milieu. GD = DH = > ED = DF.
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901. Aire inter-segments
Question Quelle est l'aire de la zone jaune appartenant au cercle central occulté par ces deux cercles verts, tangents et de même rayon unité ?
Solution, la piste L'aire cherchée correspond à celle du cercle rouge dont on retire quatre fois l'aire des segments S (rose). Or le secteur S + T, avec un angle de 120°, représente un tiers de l'aire du disque. En retirant l'aire de T, deux fois le triangle rectangle, on calcule l'aire de S. Tous calculs faits:
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902. Carrés avec allumettes
Défis Déplacer quatre allumettes à gauche pour former trois carrés. Solution à droite avec points rouges pour les allumettes déplacées.
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903. Dissection du pentagone
Énigme Découpez le pentagone régulier en quatre triangles isocèles, et Formez un trapèze isocèle.
Solution Les triangles isocèles ne sont pas tous les quatre de la même taille.
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904. Carré magique avec dominos
Carré magique avec 18 dominos. Lignes, colonnes et diagonales principales ont la même somme 13.
Brèves associées	>>> Carré magique à la demande	>>> Brèves Carrés Magiques – Index
Pour en savoir plus	>>> Carrés magiques et dominos	>>> Carrés magiques – Index

905. Araignée sur une boite
Énigme Une boite fermée est posée sur le sol. Une araignée en A détecte un bon repas en B. Comment y aller par le plus court chemin ? Solution Le chemin le plus court consiste à parcourir deux des faces en oblique (illustration en bas): L² = 20² + (15 + 10)² = 400 + 625 = 1025 L = 32,015… cm Point de bifurcation Avec le théorème de Thalès: Attention: ce n'est pas 10/15 de 20 ! Pour information Le trajet le long des arêtes aurait donné: 45 cm Celui en pure diagonale: D² = 20² + 15² + 10² = 400 + 225 + 100 = 725 D = 26,92… cm		Araignée voulant aller de A à B Trajet le plus court pour l'araignée
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Pour en savoir plus	>>> Trajet le plus court pour la fourmi >>> Fourmi sur le cylindre		>>> Théorème de Thalès

906. Cinq carrés pour un carré
Énigme On dispose de cinq carrés. Comment les assembler pour former un seul grand carré ? Vous n'avez droit qu'à un seul coup de cutter en ligne droite. Solution Empiler quatre carrés et les couper selon le trait rouge qui rejoint un sommet au milieu du côté opposé. Assembler le carré restant et les huit morceaux découpés selon la figure du bas.		Cinq carrés Le grand carré à partir des cinq petits
Brèves associées	>>> Carré divisé – Aire manquante		>>> Brèves Énigmes – Index
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907. Chiffre deviné
Tour de magie Pense à un nombre de quatre chiffres. Soustrait chacun des chiffres. Barre un chiffre de ce résultat et donne-moi les trois autres. Je peux te dire quel est le chiffre que tu as barré. Explications Un nombre auquel on a retiré ses chiffres est divisible par 9 et, dans un nombre divisible par 9, la somme des chiffres est un multiple e 9. Il suffit de trouver le chiffre à ajouter pour restituer un multiple de 9.		Exemple Un nombre: 1289 Sans ses chiffres: 1289 – (1+2+8+9) = 1269 On barre le 6 et on annonce: 1, 2, 9 Le nombre manquant est 6, car 1 + 2 + 9 = 12 et 1 + 2 = 3; le complément à 9 est 6. Exemple si le 9 avait été barré On donne alors: 1, 2, 6 = > somme 9 Complément à 9: c'est le 0 ou le 9 qui a été barré. Il y a ambiguïté. Exemple délicat Un nombre: 4567 => 4545 On barre 4 et on donne: 4, 5, 5 => 15 => 4 Complément à 9: c'est un 4 qui a été barré.
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Pour en savoir plus	>>> Preuve par 9		>>> Divisibilité par 9

908. Céviennes et binôme
Céviennes régulières Les céviennes régulières sont issues du même sommet et découpent des segments égaux sur le côté opposé au sommet. Binôme de Newton La figure donne un exemple avec k = cinq segments issus du sommet supérieur. La relation indiquée, du type de celle des identités de Newton, donne un résultat nul. Cela est vrai pour n'importe quelle valeur de k supérieure à 2.		Cas de trois céviennes régulières Les coefficients sont ceux du binôme de Newton.
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Pour en savoir plus	>>> Céviennes régulières >>> Binôme de Newton		>>> Médianes

909. Parallélogramme et cousin
Cousin du parallélogramme Cette idée provient de la question: *Si un quadrilatère à deux de ses angles opposés égaux et deux de ses côtés de même longueur, est-il forcément un parallélogramme ?* La réponse est non: il y a deux quadrilatères qui répondent à cette spécification. Construction Un parallélogramme ABCD. Cercle passant par les points B, C et D. Angle NDC reporté pour former NDE. Interceptant le même arc BD, l'angle en E est égal à celui en C. Le segment DE est de même longueur que le segment DC, du fait que DN est la bissectrice et qu'elle offre une symétrie. Le quadrilatère ABED répond aussi aux spécifications. Il est le cousin du parallélogramme.		Deux quadrilatères cousins Quadrilatères ABCD et ABED: mêmes angles opposés et même longueur des côtés opposés
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Pour en savoir plus	>>> Parallélogramme >>> Formules du parallélogramme		>>> Angles dans le cercle >>> Divers défis de géométrie

910. Rectangle trigonométrique
Quatre triangles en un rectangle Un rectangle qui encapsule quelques propriétés fondamentales de la trigonométrie à partir de calculs avec le simple théorème de Pythagore. Exemple Avec le triangle rectangle isocèle (45°) de côté unité, on a:
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Pour en savoir plus	>>> Angles et trigonométrie >>> Trigonométrie – Bases	>>> Théorème de Pythagore >>> Trigonométrie en première

911. Quatrième parcelle
Énigme On donne un quadrilatère dont trois surfaces sont connues (en cm²) comme indiqué. Les points E, F, G et H sont les milieux des côtés (EG et DF sont les médianes). Trouvez la valeur de l'aire du quatrième quadrilatère (S₂). Solution S₁ + S₃ = S₂ + S₄ 128 + 140 = x + 95 x = 268 – 95 = 173 cm² et S = 268 x 2 = 536 cm²
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Pour en savoir plus	>>> Quatrième parcelle – Explications	>>> Sixième segment

912. Apothème du pentagone
L'apothème p est le rayon du cercle inscrit au pentagone de côté c. Si S est l'aire du pentagone, c'est aussi l'aire des cinq triangles du type OAB dont l'aire vaut: ½ p·c On en déduit la longueur de l'apothème:
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Pour en savoir plus	>>> Pentagone et ses mensurations	>>> Apothème du décagone

913. Pentagone et trois triangles
Problème On connait l'aire des trois triangles A, B et C. Donner l'aire S du pentagone régulier. Solution La solution passe par la connaissance et la démonstration de cette formule impliquant le nombre d'or (phi): Vérification avec la formule de l'aire du pentagone		Exemple de situation numérique A, B et C sont connus; il faut trouver S. Il est possible de calculer l'aire du pentagone régulier par la seule connaissance des aires des triangles A, B et C.
Brèves associées	>>> Aire mystère du triangle		>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Démonstration de la formule >>> Pentagone régulier		>>> Nombre d'or

914. Carré et deux cercles
Problème Un carré unité (c = 1) et une "semi-diagonale" joignant un sommet au milieu du côté opposé. Les cercles inscrits dans les deux régions du carré. Quel est le rapport entre les rayons r et R de ces cercles? Solution – Indices Le principe consiste à montrer que les rayons R et r tels que sur la figure font partie de triangles rectangles semblables au grand triangle rectangle de la figure. Puis, à considérer le rectangle ayant les deux centres comme sommets opposés.
Brèves associées	>>> Cercles – Tangence au diamètre	>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Solution	>>> Autres défis

915. Roméo et Juliette
Problème Roméo doit apporter une cruche d'eau fraiche à Juliette. Quel est le plus court chemin ? Solution Si Roméo était de l'autre côté de la rivière, en position symétrique, le plus court chemin serait la ligne droite. Avec Roméo du même côté que Juliette, le trajet le plus court est le même, sauf que la partie de l'autre côté de la rivière doit être pris dans sa position miroir (symétrique).
Brèves associées	>>> Périmètre inconnu (Paris-Marseille…)	>>> Brèves Énigmes – Index
Pour en savoir plus	>>> Trajet le plus court	>>> Symétries

916. Les trois chiens
Problème Les chiens font l'objet des pesées indiquées. Quel est le poids des trois chiens objet de la quatrième pesée ? Solution Une solution avec des équations est possible. Mais, il existe une solution beaucoup plus simple. En effet, si l'on ajoute les résultats des trois pesées, on obtient: 30 + 40 + 50 = 120 kg. Or, cela correspond à deux fois les trois chiens. Le poids des trois chiens est donc: 120 / 2 = 60 kg. On en déduit facilement le poids de chacun en calculant le poids du manquant à chaque pesée: 10, 20 et 30kg.
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Pour en savoir plus	>>> Équations pour débutants	>>> Exercices au collège

917. Aiguille de Kakeya
Disque Une aiguille de longueur unité. Mathématiquement un segment (épaisseur nulle). Elle doit faire un tour complet dans le plan. Si on fait pivoter l'aiguille autour de son centre, la surface balayée est un disque. Est-ce que l'aire balayée est la plus petite ? NON ! Deltoïde La deltoïde est la trajectoire d'un point d'un cercle lorsque celui-ci roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle trois fois plus grand. L'aiguille tourne avec ses deux extrémités parcourant deux arcs tandis qu'elle reste tangente au troisième arc. La réduction de la surface balayée est importante, mais il existe mieux … L'aire balayée peut être rendue aussi petite que l'on veut.
Brèves associées	>>> Cercle de Conway	>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Aiguille de Kakeya – Explications	>>> Disque >>> Deltoïde

918. Puissance des nombres successifs
Triangulaires Un nombre triangulaire d'ordre n est la somme de tous les nombres jusqu'à n. Un hypertriangulaire est calculé de la même manière mais en élevant chaque nombre à sa puissance. Factorielles Un nombre factoriel d'ordre n est le produit de tous les nombres jusqu'à n. Un hyperfactoriel est calculé de la même manière mais en élevant chaque nombre à sa puissance.		Quatre types de nombres Somme ou produit des nombres successifs avec ou non leur puissance Curiosité L'hyperfactorielle 5 est le nombre de millisecondes en un jour. H5! = 1¹ × 2² × 3³ × 4⁴ × 5⁵ = 24 × 60 × 60 × 1000 = 86 400 000
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Pour en savoir plus	>>> Hypertriangulaires et hyperfactorielles			>>> Factorielles – Index

919. Spirales du pentagone
Pentagones gigognes Une suite de pentagones de plus en plus petits, chacun formé sur le précédent. Spirales On forme une spirale interne (bleue) et une spirale externe (rose). La première commence par une diagonale et la seconde par un côté prolongé. Leur longueur commune est égale au nombre d'or. Longueur La longueur de chaque branche est égale aux puissances successives de l'inverse du nombre d'or. La longueur de ces deux spirales tend vers deux fois le nombre d'or augmenté de l'unité.
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Pour en savoir plus	>>> Calcul de la longueur limite	>>> Pentagone >>> Nombre d'or dans le pentagone

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900. Cordes égales

901. Aire inter-segments

902. Carrés avec allumettes

903. Dissection du pentagone

904. Carré magique avec dominos

905. Araignée sur une boite

906. Cinq carrés pour un carré

907. Chiffre deviné

908. Céviennes et binôme

909. Parallélogramme et cousin

910. Rectangle trigonométrique

911. Quatrième parcelle

912. Apothème du pentagone

913. Pentagone et trois triangles

914. Carré et deux cercles

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917. Aiguille de Kakeya

918. Puissance des nombres successifs

919. Spirales du pentagone