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TRIPLETS de PYTHAGORE Cercle Unité
Travail sur le
cercle unité.
Trouver des nombres
rationnels sur ce cercle.
Base du calcul sur
les courbes elliptiques. |
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Un triplet de Pythagore se
présente sous la forme a² + b² = c².
Divisons chaque terme par c²:
Vous reconnaissez l'équation d'un cercle u² + v² =
R, avec un rayon unité.
Dessinons ce cercle et
portons en x la valeur rationnelle de (a/c)
et en y celle de (b/c). Nous matérialisons ainsi un triplet de Pythagore sur le cercle unité.
L'illustration présente deux
de ces triplets:
(3, 4, 5)
( 3/5,
4/5)
(5, 12, 13) (5/13, 12/13) |
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Abordons le cercle, non pas
depuis le centre comme habituellement, mais depuis un point situé sur le
cercle. On choisit le point à gauche du diamètre horizontal pour des
facilités de calcul.
Traçons la droite qui passe par ce point (– 1, 0) et
un point (u, v) matérialisant un triplet.
Si la pente de cette droite
est t, son équation est v = t (u + 1).
En associant cette équation à
la condition à remplir pour être éligible en triplet de Pythagore: u² + v² =
1 nous pouvons choisir les coordonnées (u, v) en
fonction de t: Ces valeurs, exploitant une identité remarquable, remplissent les conditions requises: u² + v² = 1 (1 – t²)²
+ (2t)² = (1 + t²)² En effet: 1
– 2t² + t4 + 4t² = 1 + 2t² + t4 = (1 +t²)² Et v = t(u
+ 1) 2t /(1+t²)
= t ((1 – t²) / (1 + t²) + 1) 2t = t (1 – t²)
+ (1 + t²) 2t = t – t3
+ t + t3 = 2t vérification terminée. Le choix de ces valeurs semble parachuté; en fait,
il résulte d'une intuition aidée par une bonne connaissance des identités
remarquables.
L'allure de ces paramètres (u
et v) en fonction de t, fait penser aux travaux qui mènent aux courbes
elliptiques. Ce que confirme l'analyse complète. |
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Addition - Glossaire Pythagore – Biographie |
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