NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/07/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Triplets de Pythagore

PROPRIÉTÉS

Il en existe une infinité; (3, 4, 5) est le plus petit.

Nombreuses propriétés de divisibilité

(3, 4, 5) est représentatif:

2 impairs et un pair

divisibilité par 3, 4 et 5

divisibilité du produit par 60

Amusement

(3, 4, 5) en le multipliant par 10 et 11 donne

30² + 40² = 50²

33² + 44² = 55²

Nomenclature des triplets de Pythagore

Composé	Primitif	Jumeaux		Triplé	Couple jumeaux
		Par l'hypoténuse	Par les côtes
6, 8, 10	33, 56, 65	5, 12, 13	20, 21, 29	3, 4, 5	16, 63, 65 33, 56, 65
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Autour des triplets de Pythagore / Moyenne quadratique / Brève 430

TABLE

Liste des triplets (a,b,c) tels que a² + b² = c² avec c 100 (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (8,15,17), (9,12,15), (9,40,41), (10,24,26), (11,60,61), (12,16,20), (12,35,37), (13,84,85), (14,48,50), (15,20,25), (15,36,39), (16,30,34), (16,63,65), (18,24,30), (18,80,82), (20,21,29), (20,48,52), (21,28,35), (21,72,75), (24,32,40), (24,45,51), (24,70,74), (25,60,65), (27,36,45), (28,45,53), (28,96,100), (30,40,50), (30,72,78), (32,60,68), (33,44,55), (33,56,65), (35,84,91), (36,48,60), (36,77,85), (39,52,65), (39,80,89), (40,42,58), (40,75,85), (42,56,70), (45,60,75), (48,55,73), (48,64,80), (51,68,85), (54,72,90), (57,76,95), (60,63,87), (60,80,100), (65,72,97) Il y en a 50 pour c < 100 et 2 pour c= 100: total 52. Il y a 16 primitifs pour c < 100 Suite jusqu'à 500

Voir Illustration de la répartition / Comment les créer / Tables / Énigme du triangle inscrit dans un rectangle

INFINITÉ triplets de Pythagore & triplets primitifs

Si j'en ai un, je peux en construire une infinité d'autres

Il suffit de multiplier tous les termes d'un triplet de Pythagore par un nombre entier quelconque pour en trouver d'autres.

(a, b, c) <=> (k.a, k.b, k.c)

car a² + b² = c² <=> k².a² + k².b² = k².c²

3, 4, 5	donne	3² + 4² = 5²	soit	9 + 16 = 25
x 2		6² + 8² = 10²		36 + 64 = 100
x 3		9² + 12² = 15²		81 + 144 = 225

Le triplet le plus petit possible est dit primitif.

C'est celui pour lequel les trois nombres sont étrangers.

Avec deux ou trois nombres

Avec deux nombres quelconques (u et v), il est possible de former un triplet:

( a, b, c) = (u² – v² , 2uv, u² + v²)

Avec un triplet utilisé comme point de départ, il existe trois possibilités de prolonger la construction d'autres triplets en nombre infini:

(A, B, C) = (a, b, c) M

Différence de 1

Infinité de cas: en partant de n, il est possible de calculer le triplet suivant dit jumeau:

n => ( n, ½ (n² – 1), ½ (n² + 1) )

Infinité également avec l'application du théorème: tout nombre impair (notamment carré) est la différence de deux nombres consécutifs au carré.
Exemple: 9² = 81 = 2 x 40 + 1 = 40 + 41 = 41² – 40²

Différence de 2

Infinité de cas: en partant de n, il est possible de calculer le triplet suivant

n, n + 1, n – 1 => M, N, O

Qui correspond au cas u = n et v = 1 de la formule générale.

Tous les nombres ?

Tout nombre (>2) se retrouve dans un triplet de Pythagore primitif ou non.

Tout nombre (>2) qui n'est pas de la forme 4k + 2 se retrouve dans un triplet de Pythagore primitif.

Attention si vous programmez une recherche, il faut parfois explorer b nettement plus loin que la valeur de a.

Exemples de nombres avec b >> a:

Voir Triplets et nombres de Fibonacci

QUANTITÉ

La quantité de triplet primitif dont l'hypoténuse est inférieure à H est donné par la formule limite suivante

Dit autrement, la quantité multipliée par 2 donne l'hypoténuse maximum

Note: ½ = 0,159 154 9…

Prouvé par Lehmer (1900)

Tableau: quantité de triplets

a et b	c	Total	Primitif	H / 2
	< 25	6	3	3,9
< 25		11	5
	< 100	50	16	15,9
< 100		63	18
	< 1000	878	158	159
< 1000		1 034	179
	< 10 000	12 467	1 593	1 591
< 10 000		14 474	1 788

Un triplet (a, b, c) unique

(a, b, c) = (b - 1 , b , b + 1)

b² - 2b +1 + b² = b² + 2b + 1

b² = 4b

b = 0 ou b = 4

b = 4 est l'unique solution

Ce triplet est générateur de tous les triplets de Pythagore.

SOUSTRACTION
Si la différence entre deux carrés est un carré, la somme et la différence des nombres est un carré ou le double d'un carré. Exemple

DIVISIBILITÉ

Tout triplet a ou b est divisible par 3 (un seul) a ou b est divisible par 4 (un seul) c divisé par 4 donne un reste de 1 (= 1 mod 4) a , b ou c est divisible par 5 (un seul) a , b , (a+b) ou (a-b) est divisible par 7 (un seul) a . b est divisible par 12 a . b /2 est divisible par 6 (aire du triangle) – cf. propriété précédente a . b . c est divisible par 60 a ou b un seul au plus peut être un carré c est le produit de premiers du type 4k+1 Triplets primitifs a est pair et b impair, ou l'inverse. >>> c est toujours impair. a, b, c sont étrangers deux à deux (aucun diviseur en commun). PGCD(a,b) = PGCD(a,c) = PGCD(b,c) = 1 Exemples de triplets primitifs 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37 9 40 41 Formulation des principales propriétés du triplet primitif Si (a,b,c) est un triplet primitif de Pythagore, alors : a ou b est pair (disons b) a et c sont impairs b = 0 mod 4 c = 1 mod 4 l'un de a ou b = 0 mod 3 un seul de a, b ou c = 0 mod 5

Voir Tableau des propriétés

Démonstrations

Démonstration: a , b et c ne sont pas tous impairs
Supposons qu'ils soient tous impairs	a = 2k + 1 b = 2n + 1 c = 2m + 1
L'égalité devient	(2k+1)² + (2n+1)² = (2m+1)² 4k² + 4k + 1 + 4n² + 4n + 1 = 4m² + 4m + 1 4(k² + k + n² + n - m² - m + 1) = 3
Égalité impossible car 3 ne divise pas 4 Il existe au moins un pair parmi a, b et c	4.K 3

Démonstration: a pair, b impair et c impair ou a impair, b pair et c impair
Si a et b étaient pairs. Contradiction par rapport à l'hypothèse Donc l'un des deux est impair.	a et b aurait un diviseur commun (2 ou 2.k) Or le triplet est primitif: a et b n'ont pas de diviseur commun
Si a est impair. Le carré de a divisé par 4 donne 1 pour reste.	a = 2n+1 a² = 4n² + 4n + 1 a² = 1 mod 4
Si b est aussi impair. Et, c² qui vaut a² + b² c² est un nombre pair.	a² = b² = 1 mod 4 c² = 1 + 1 mod 4 = 2 mod 4
Or si c est pair. Et si c est impair. c² mod 4 donne 0 ou 1, jamais 2	c² = (2m)² = 4m² = 0 mod 4 c² = 4m² + 4m + 1 = 1 mod 4
Bilan a et b ne sont tous deux impairs. or l'un est impair.	a est pair b est impair	ou	a est impair b est pair
Quant à c c selon l'égalité. Selon la parité de c. c pair donne. c impair donne.	c² = a² + b² = 0 + 1 mod 2 = 1 mod 2 c² = (2n)² = 4n² = 0 mod2 c² = (2n+1)² = 1 mod 2
Conclusion =>	c est impair

Autre idée de la même démonstration
Si a et b étaient impairs: L'équation de Pythagore s'écrit =>	a = 2n+1 et b = 2m+1 a² + b² = c² (2n+1)² + (2m+1)² = c² 4n² + 4n + 1 + 4m² + 4m + 1 = c² 4 (n² + n + m² + m) + 2 = c²
Cette expression de c² montre que c² est pair. c² pair implique c pair.	c = 2k
Revoyons l'égalité: Le terme de droite est divisible par 4. Celui de gauche ne l'est pas. Contradiction! Hypothèse de départ fausse.	4 (n² + n + m² + m) + 2 = 4k² a et b se sont pas impairs à la fois

Démonstration: a ou b divisible par 4
Supposons que a soit le côté impair. Alors b est impair, et c est impair.	a = 2k b = 2n+1 c = 2m+1
Évaluons a² =>	a² = c² - b² 4k² = 4m² + 4m + 1 - 4n² - 4n - 1 4k² = 4 (m² + m - n² - n) k² = m² + m - n² - n k² = m (m+1) – n (n +1)
k² est la différence entre deux nombres. Chacun comporte deux nombres successifs dont l'un est pair	m (m+1) = nombre pair n (n +1) = nombre pair
k² est la différence de deux nombres pairs. Cette différence est paire. k² pair implique k pair.	k² = pair – pair k² = pair k = pair = 2h
Reprenons la relation entre a et h.	a = 2k = 2.2h = 4h
Conclusion =>	a est divisible par 4

Merci à Francis Dalaudier

Démonstration: a, b ou c divisible par 3
Divisibilité de n par 3 et de n². Le reste de la division par 3 est 0, 1 ou 2. Le reste de la division d'un carré est 0 ou 1.	Divisible par 3 n = 0 mod 3 => n² = 0 x 0 = 0 mod 3 Non divisible par 3 n = 1 mod 3 => n² = 1 x 1 = 1 mod 3 n = 2 mod 3 => n² = 2 x 2 = 4 = 1 mod 3
Non divisibilité par 3. Le reste de la division par 3 et 1 ou 2. Le reste de la division d'un carré est 1.
Supposons que ni a ni b ni c ne soit divisible par 3. Avec la propriété des carrés =>	a² + b² = 1 + 1 = 2 mod 3
Ce qui est impossible, aucun carré n'a 2 comme reste en le divisant par 3.	n² 2 mod 3
L'hypothèse ne tient pas. L'un des termes au moins est divisible par 3.	a, b ou c divisible par 3

Voir Calcul avec les pairs et impairs

Démonstration: a . b . c divisible par 60 donc par 3, par 4 et par 5
Supposons le triplet primitif, sans perte de généralité. Les autres sont obtenus par multiplication de ceux-ci.	a, b, c Notons que le triplet célèbre (3, 4, 5) forme un produit déjà égal à 60. Et aussi que (3, 4 et 5) sont premiers entre eux.
Si p et q sont générateurs de triplets de Pythagore, alors	a = 2pq b = p² – q² c = p² + q²
Écriture du produit	abc = (2pq) (p² – q²) (p² + q²) = 2pq (p^4 – q^4)
Divisibilité par 4	Or 2pq est divisible par 4, sauf si p et q sont tous deux impairs, alors p² + q² est divisible par 2. abc est divisible par 4
Divisibilité par 3 Voir Congruences	si p ou q 0 mod 3 abc 0 mod 3 si p et q mod 3 p² et q² 1 mod 3 et (p² – q²) 0 mod 3 abc 0 mod 3 abc est divisible par 3
Divisibilité par 5	si p ou q 0 mod 5 abc 0 mod 5 si p et q mod 5 p^4 et q^4 1 ou 16 mod 5, équivalent à 1 mod 5 et (p^4 – q^4) 0 mod 5 abc 0 mod 5 abc est divisible par 5

Démonstration bonus
Si x et y sont impairs, alors N = x² + y² n'est jamais un carré. Notez: x² + y² = z² ne constitue un triplet de Pythagore que si l'un des nombres x ou y est pair.	Si x et y sont impairs: N = x² + y² = (2k + 1)² + (2h + 1) )² = 4(k² + k + h + h²) + 2 N est pair non divisible par 4. Si N = (2m + 1)² = 4m² + 4 m + 1 – Impossible Si N = (2m)² = 4m² – Impossible
Si x et y sont premiers avec 3, alors N = x² + y² n'est jamais un carré. Notez: x² + y² = z² ne constitue un triplet de Pythagore que si l'un des nombres x ou y est divisible par 3.	Forme des carrés: n = 3k => N = 9k² n = 3k + 1 => N = 9k² + k + 1 n = 3k + 2 => N = 9k² + 12k + 4 Donc jamais de la forme 3k + 2 Or x, comme y, sont premiers avec 3. x et y sont de la forme 3k + 1 ou 3k + 2. x² + y² = (3k + 1)² + (3h + 1)² = 3K + 2 – Impossible x² + y² = (3k + 1)² + (3h + 2)² = 3K + 5 – Impossible

Suite	Historique Triplets primitif Somme de carrés = Carré Cercle unité Cercle inscrit dans un triangle de Pythagore: son rayon est entier
Voir	Addition - Glossaire Années Pythagore Décade de Pythagore Pythagore - Biographie
Sites	Pythagorean Triple de Eric Weisstein D'autres démonstrations sur le site de Fred Curtis
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripProp.htm