NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/03/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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CARRÉS MAGIQUES

avec nombres PREMIERS

Règles classiques des carrés magiques – sommes égales sur les lignes, colonnes et diagonales – mais les nombres sont tous premiers.

Enjeu suprême: trouver les carrés avec la plus petite constante magique en utilisant des nombres premiers consécutifs

ORDRE 3

Celui qui donne la plus petite constante magique est dû à Dudeney.

Notez qu'il faut faire une exception

pour le chiffre 1, non premier.

Le vraiment plus petit est celui donné ci-après avec la somme 177.

Voir Nombre 111

Barre magique des premiers

Somme 111

67	1	43
13	37	61
31	73	7

Voici la liste des nombres premiers (non consécutifs) utilisés parmi ceux inférieurs à 100:

2	3	5	7
11	13	17	19
	23		29
31		37
41	43	47
	53		59
61		67
71	73		79
	83		89
		97

Carré magique d’ordre 3 avec des nombres premiers de Chen.

Découvert par Rudolf Ondrejka.

Somme 177

17	89	71
113	59	5
47	29	101

Le plus petit avec premiers en progression arithmétique (mais non consécutifs).

Découvert par Dudeney en 1917

Somme 3 117

1 669	199	1 249
619	1 039	1 459
829	1 879	409

Raison de la progression: 210

199 + 210 = 409, + 210 = 619 …

Carré formé de nombres premiers consécutifs.

Trouvé par Harry Nelson, suite à un concours organisé par Martin Gardner.

Somme 4 440 084 513

Le plus petit avec nombres premiers consécutifs

ORDRE 4

On peut construire trois carrés magiques, dont deux avec les mêmes nombres, en utilisant les nombres premiers consécutifs inférieurs à 200.

Ce sont les carrés magiques avec les nombres premiers les plus petits.

Le carré central et les quatre cellules des coins donnent aussi la somme magique.

Les nombres premiers utilisés

31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,

67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101

Somme 258

101	47	31	79
73	61	71	53
43	67	59	89
41	83	97	37

Somme 276

41	37	97	101
103	83	47	43
71	67	79	59
61	89	53	73

53	37	89	97
73	101	61	41
103	71	43	59
47	67	83	79

ORDRE 5
Carré magique d'ordre 5 avec les nombres premiers les plus petits. Découvert par Max Alekseyey, cité par Harvey Heinz

ORDRE 6 – Panmagique
Carré magique de la bête ou apocalyptique. Somme 666 sur lignes, colonnes, diagonales et pandiagonales. Avec la liste des nombres premiers utilisés (en jaune).
Nombres premiers jusqu'à 400	Somme 666 – Panmagique
	Somme 930 – Panmagique (le plus petit) Trouvé en 1991 par Allan William Johns Jr

Cités par Clifford Pickover dans "Oh, encore des Nombres" / The Zen of Magic Squares …

ORDRE 7

Somme 21 197

1931	389	11369	1453	829	1307	3919
11159	2713	619	1097	3709	1721	179
409	887	3499	1511	1439	10949	2503
4759	1301	1229	10739	2293	199	677
1019	10529	2083	1459	467	4549	1091
1873	1249	257	4339	881	809	11789
47	4129	2141	599	11579	1663	1039

ORDRE 8 – Le plus petit
Somme : 2 016

Voir Nombre 2016

ORDRE 9

Carré magique classique avec nombres premiers consécutifs

Sans doute le plus petit

Somme : 2211

Nombres premiers

37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479

Ce carré magique est dû à Akio Suzuki

Carré magique classique avec nombres premiers consécutifs

Somme : 2311

Nombres premiers

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491.

Ce carré magique est dû à Harvey Heinz

Carré magique avec "dérogations"

Somme : 163 953

18199	20533	15901	18229	19417	17293	17827	29983	6571
15913	18211	20509	17377	18313	19249	6871	18127	29383
20521	15889	18223	19333	17209	18397	29683	6271	18427
18097	20479	15823	17851	33073	3727	18289	36583	31
15859	18133	20407	4093	18217	32341	43	18301	36559
20443	15787	18169	32707	3361	18583	36571	19	18313
17977	32917	4027	18061	21649	14653	18013	31543	5113
4357	18307	32257	14713	18121	21529	5323	18223	31123
32587	3697	18637	21589	14593	18181	31333	4903	18433

Ce carré magique d'ordre 9 avec nombres premiers:

utilise 80 nombres premiers parmi les 3 872 de 19 à 36 583.

utilise deux fois le nombre premier 18 313

Merci à Michel et Josette C.

Constantes magiques

Carrés magiques constitués de nombres premiers consécutifs.

Liste ces constantes magiques pour les carrés les plus petits (par exemple 2016 pour l'ordre 8):

2₁, 0₂, 4 440 084 513₃, 258₄, 313₅,

484₆, 797₇, 2 016₈, 2 211₉, 2 862₁₀, …

Source OEIS A073520

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