carrés latins et carrés magiques

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Carrés latins

et Carrés MAGIQUES

Comment les carrés latins servent de base à la construction des carrés magiques.

Voir Introduction

FORMATION DES CARRÉS MAGIQUES

On utilise des additions ou des combinaisons linéaires de carrés latins.

Les carrés latins sont orthogonaux, comme dans la formation du carré gréco-romain.

Dans l'exemple suivant, la formule utilisée est:

N = 5A + B + I

2	3	4	0	1	4	0	1	2	3	1	1	1	1	1
0	1	2	3	4	1	2	3	4	0	1	1	1	1	1
3	4	0	1	2	3	4	0	1	2	1	1	1	1	1
1	2	3	4	0	0	1	2	3	4	1	1	1	1	1
4	0	1	2	3	2	3	4	0	1	1	1	1	1	1

5 x ( A + B + I )

15	16	22	3	9
2	8	14	20	21
19	25	1	7	13
6	12	18	24	5
23	4	10	11	17

= N

La combinaison A, B est eulérienne ou orthogonale.

N, somme composée de deux carrés latins orthogonaux, est pan magique.

Réciproquement

Presque tous les carrés pan magique sont décomposables en deux carrés latins orthogonaux: ceux qui possèdent cette propriété sont dits réguliers.

Exemple de carré irrégulier et carrés latins associés

N = 7A + B + 1

			N							A							B
1	8	19	25	35	39	48	0	1	2	3	4	5	6	0	0	4	3	6	3	5
31	41	44	2	12	17	28	4	5	6	0	1	2	3	2	5	1	1	4	2	6
11	21	24	33	37	43	6	1	2	3	4	5	6	0	3	6	2	4	1	0	5
36	47	4	14	18	26	30	5	6	0	1	2	3	4	0	4	3	6	3	4	1
20	23	29	40	46	7	10	2	3	4	5	6	0	1	5	1	0	4	3	6	2
49	3	13	16	22	34	38	6	0	1	2	3	4	5	6	2	5	1	0	5	2
27	32	42	45	5	9	15	3	4	5	6	0	1	2	5	3	6	2	4	1	0

Historique

Cette méthode de construction est connue comme la méthode de De la Hire.

Elle consiste en la création de deux carrés latins orthogonaux.

L'un étant la rotation ou la réflexion de l'autre.

Un arrangement approprié des nombres engendre un carré magique.

Vers 1960 et grâce à cette méthode, Parker, Bose, et Shrikhande ont construit un carré magique d'ordre 10, infirmant la conjecture d'Euler affirmant que les carrés gréco-latins d'ordre 2n + 2 n'existaient pas.

Voir Contribution d'Euler