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RELATIONS

dans les carrés magiques d'ordre 4

Quelles sont les propriétés de cellules ou groupes de cellules?

Y-a-t'il d'autres configurations dont la somme vaut la constante magique?

NOTATIONS

Chaque cellule est nommée par une lettre de A à M.

Les lignes sont nommées L1, L2, L3 et L4; les colonnes C1, C2, C3 et C4; et les diagonales Dm (montante) et Dd (descendante). La somme sur ces 10 lignes vaut 34, la constante magique du carré d'ordre 4

Le petit carré du centre {ABCD} est nommé Cp.

Le grand carré {GJMP} formé des quatre coins est nommé Cg.

Ces deux blocs constituent les deux diagonales, descendante {Dd = GACM} et montante {Dm = PDBJ}.

Les quatre cellules du milieu horizontal {FEKL} sont nommées Mh.

Celles du milieu vertical {HION}, Mv.

L'ensemble des cellules du milieu des côtés est nommé M, avec M = Mh + Mv. Cet ensemble est constitué de la totalité du carré (4 x34) auquel on retire les deux diagonales (2 x 34), soit une somme de 2 x 34.

G	H	I	J
F	A	B	K
E	D	C	L
P	O	N	M

L1 = L2 = L3 = L4 = 34

C1 = C2 = C3 = C4 = 34

Dm = Dd = 34

G	H	I	J
F	A	B	K
E	D	C	L
P	O	N	M

Dm + Dd = Cp + Cg = 2 x 34

G	H	I	J
F	A	B	K
E	D	C	L
P	O	N	M

M = Mh + Mv = 2 x 34

Relations avec les milieux des côtés

Avec les deux lignes centrales, on forme Cp + Mh qui vaut 2 x 34.

Même chose avec les deux colonnes centrales.

Soustraction des deux égalités.

Or, cf. ci-dessus, Mh + Mv = 2x34

La somme des cellules du bloc bleu foncé (Mh) vaut 34, la constante magique;

La somme des cellules du bloc bleu clair (Mv) vaut 34, la constante magique.

G	H	I	J
F	A	B	K
E	D	C	L
P	O	N	M

Mh + Cp = 2 x 34

Mv + Cp = 2 x 34

Mh – Mv = 0

Mh = Mv = 34

Exemple

1	2	15	16
12	14	3	5
13	7	10	4
8	11	6	9

12 + 13 + 5 + 4 = 34

2 + 15 + 11 + 6 = 34

Relations avec les deux carrés

On reprend les égalités avec les lignes et colonnes centrales

Ici, on effectue la somme des deux égalités.

Que l'on rapproche de somme totale des blocs dans le carré magique.

Soustraction des ces deux égalités.

La somme des cellules du bloc jaune foncé (Cp) vaut 34, la constante magique;

La somme des cellules du bloc jaune clair (Cp) vaut 34, la constante magique.

G	H	I	J
F	A	B	K
E	D	C	L
P	O	N	M

Mh + Cp = 2 x 34

Mv + Cp = 2 x 34

Mh + Mv + 2 Cp = 4 x 34

Mh + Mv + Cp + Cg = 4 x 34

Cp – Cg = 0

Cp = Cg = 34

Exemple

1	2	15	16
12	14	3	5
13	7	10	4
8	11	6	9

14 + 3 + 7 + 10 = 34

1 + 16 + 8 + 9 = 34

Bilan

Outre les sommes magiques classiques, un carré magique d'ordre 4 présente quatre autres blocs de quatre cellules dont la somme est magique:

X	X					X	X
		X	X	X	X
		X	X	X	X
X	X					X	X

Trapèzes

On s'intéresse aux milieux verticaux: Mv.

Puis à la ligne du bas.

Soustraction.

La répétition par rotation d'un quart de tour donne quatre égalités du même type.

Pour ces trapèzes, la somme sur le petit côté est égale à celle du grand côté.

Attention, ces égalités ne sont pas égales entre-elles et encore moins égales à la demi-constante magique 17, sauf cas particuliers.

G	H	I	J
F	A	B	K
E	D	C	L
P	O	N	M

O + N + H + I = Mv = 34

O + N + P + M = 34

H + I – P – M = 0

M + P = H + I

P + G = K + L

G + J = O + N

J + M = F + E

Exemple

1	2	15	16
12	14	3	5
13	7	10	4
8	11	6	9

1 + 16 = 11 + 6 = 17

2 + 15 = 8 + 9 = 17

1 + 8 = 5 + 4 = 9

12 + 13 = 16 + 9 = 25

Chapeaux

On s'intéresse au carré central: Cp.

Puis à la troisième ligne.

Soustraction.

La répétition par rotation d'un quart de tour donne quatre égalités du même type.

Pour ces chapeaux, la somme sur le haut est égale à celle des bords.

Attention, ces égalités ne sont pas égales entre-elles et encore moins égales à la demi-constante magique 17, sauf cas particuliers.

G	H	I	J
F	A	B	K
E	D	C	L
P	O	N	M

D + C + A + B = Cp = 34

D + C + E + L = 34
A + B – E – L = 0

A + B = E + L

D + C = F + K

A + D = I + N

B + C = H + O

Exemple

1	2	15	16
12	14	3	5
13	7	10	4
8	11	6	9

14 + 3 = 13 + 4 = 17

7 + 10 = 12 + 5 = 17

14 + 7 = 15 + 6 = 21

3 + 10 = 2 + 11 = 13

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