NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/01/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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IDENTITÉ d'EULER

Démonstration

Un peu coriace mais se laisse comprendre.

Allons-y! Pas à pas.

IDENTITÉ
Formulation Principe de la démonstration La démonstration procède en deux étapes: Transformer le produit infini en somme infinie, et Comparer la nouvelle somme à la somme originelle.

PRODUIT EN SOMME

Le produit infini a pour facteur élémentaire =>

Et chacun de ces facteurs peut être décomposé en une somme infinie de termes.

Le produit initial est égal au produit de ces termes pour toutes les valeurs de p_i premiers.

Voici les premiers facteurs

Il s'agit d'une multiplication monstrueuse.

Elle consiste à prendre un terme dans chaque ligne et de les multiplier entre eux:

Le premier terme du résultat sera 1 en prenant tous les 1 de la première colonne.

Le suivant sera 1/2^s en prenant le 2^e terme de la 1^ère ligne et le premier de toutes les autres lignes.

Etc.

1 +	1	+…+	1	+…+	1	+…+
	2^s		2^s . 3^s		2^s . 3^s . 5^s

1	+…+	1	+…+
2^2s . 3^s . 5^s		2^3s . 3^2s . 5^s

Sympathique l'addition ! Mais qu'en faire?

Tentons un peu d'abstraction pour y voir plus clair.

Donnons une forme générique à chacun des termes T de la somme monstrueuse.

Valeur de T
En se souvenant que:

2³ .3³ = 8 . 27
= 216 = 6³ = (2 .3)³

T = 2 ^{a .} 3 ^{b .} 5 ^{c .} 7 ^d …

Nous arrivons au terme de la première étape.

Bien plus avancé?

On dispose d'une addition gigantesque en 1 / T^s

Qu'il s'agit maintenant de comparer à l'addition beaucoup plus simple en 1 / n^s

Et si par hasard …

Les plus matheux voient venir le coup, j'en suis sûr.

PRODIGIEUX
Si vous regardez bien la multiplication monstrueuse vous pourrez trouver les valeurs successives des coefficients En se souvenant que: a^0 = 1 b^1 = b a^0 . b^1 = 1 . b = b	a = 1, b = 1, c = 1, d = 1 … a = 2, b = 1, c = 1, d = 1 … … a = 5, b = 1, c = 1, d = 1 … … a = 2, b = 2, c = 1, d = 1 … … et même a = 1, b = 0, c = 0, d = 0 … a = 0, b = 1, c = 0, d = 0 … …
On trouvera ainsi les valeurs de T successives. Tous les entiers sont là sans exception et sans duplication.	T = { 2^0 , 2^1 , 3^1 , 5^1 , 2^1 . 3^1 , 2^2 . 3^1 , 2^1 . 3^2 . 5^1 , …
Ceci, en vertu du théorème fondamental de l'arithmétique	Tout entier est le produit unique de nombres premiers (facteurs)
T prenant la valeur de tous nombres entiers successifs est équivalent à n	CQFD

CONCLUSION
Le produit des nombres premiers, nombres à la répartition quasi-aléatoire a été transformé en une somme de nombres entiers qui eux sont répartis régulièrement. La démonstration fait simplement appel à une division de polynôme et au théorème fondamental de l'arithmétique.

Suite	Approches modernes
Voir	Calcul et calcul mental Divisibilité Euler – Index Géométrie – Index Identités remarquables Isopérimètre Nombres premiers Série Harmonique Théorie des nombres – Index
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