fonction zêta

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/09/2022 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Nombres premiers
Débutants Identité d'Euler	Répartition			Glossaire Nombres premiers
INDEX Nombres premiers	En bref	Identité d'Euler	Fonction zêta d'Euler	F. de Möbius
		Démo. de l'identité	Zêta de Riemann
		Approches modernes	Hypothèse de Riemann
		Sommaire de cette page >>> Fonction zêta >>> Valeurs de zêta; nombres d'Apery >>> Fonction zêta - allure générale >>> Historique

FONCTION ZÊTA ()

d'Euler avec des puissances en nombres réels,

de Riemann avec des puissances en nombres complexes.

On peut dire dzêta ou zêta, sixième lettre de l'alphabet grec

FONCTION ZÊTA

Formulation

Égalité valable pour les nombres entiers si a > 1

Et, même en complexe avec s = a + ib avec a > 1

Cette fonction est potentiellement un outil puissant d'études de la répartition des nombres premiers.

The zeta function is based on adding the reciprocals of all the whole numbers raised to a certain power.

VALEURS de ZÊTA – NOMBRES D'APERY

Cas s = 1 : Série harmonique

Pour s = 1, la série est divergente: c'est la Série Harmonique

Cas s > 1 : Nombre d'APÉRY

s =	(s) =		Irrationnel	Transcendant
2	1,644 934 066 ...	= ² / 6	Oui	Oui
3	1,202 056 903 ...		Oui*	?
4	1,082 323 233 ...	= ⁴ / 90	Oui	Oui
5	1,036 927 755 ...		?	?
6	1,017 343 061 ...	= ⁶ / 945	Oui	Oui
7	1,008 349 277 ...		?	?
8	1,004 077 356 ...	= ⁸ / 9 450	Oui	Oui
9	1,002 008 393…		?	?
10	1,000 994 577…	= ¹⁰ / 93 555	Oui	Oui
...
2k		= f ( ^2k )**	Oui	Oui
2k+1		pas de formule	?	?

Voir Cent décimales / Formules donnant Pi

* Apéry en 1978.

** fait intervenir les nombres de Bernoulli (un peu compliqué!):

Valeurs négatives

La fonction zêta est définie dans le demi-plan des réels positifs.

On peut aussi la définir dans le demi-plan négatif

par une extension analytique.

Ce n'est donc plus la même formule (sinon, elle divergerait).
La formule de calcul devient (avec B_n , un nombre de Bernoulli):

Voici la fonction zêta pour quelques valeurs négatives

s =	(s) =	Valeur décimale
-10	0	0
-9	-1/132	- 0,007575757576
-8	0	0
-7	1/240	0,004166666667
-6	0	0
-5	-1/252	- 0,003968253968
-4	0	0
-3	1/120	0,008333333333
-2	0	0
-1	-1/12	- 0,08333333333
0	-1/2	- 0,5000000000
- 2k	0	0

Autour de 1

s =	(s) =
0	- 0,5000000000
0,1	- 0,6030375199
0,2	- 0,7339209249
0,3	- 0,9045592573
0,4	-1,134797784
0,5	-1,460354509
0,6	-1,952661448
0,7	-2,778388446
0,8	-4,437538416
0,9	-9,430114019
1	Singularité - pôle
1,1	10,58444846
1,2	5,591582441
1,3	3,931949212
1,4	3,105547278
1,5	2,612375349
1,6	2,285765666
1,7	2,054288757
1,8	1,882229618
1,9	1,749746435
2	1,644934068

FONCTION ZÊTA – ALLURE GÉNÉRALE

Allure générale de la fonction zêta

de -10 à +10

Allure de la fonction zêta en positif

de 1 à 6

Allure de la fonction zêta en négatif

de -10 à 0

Allure de la fonction zêta en fortement négatif

de -32 à -10

Allure de la fonction zêta autour du pôle 1

de 0,9 à 1,1

Historique

1644 – Pietro Mengoli (1626-1686): il montre que la série harmonique (somme des inverse des entiers) diverge et se demande quelle serait la valeur de la même série mais avec des carrés. Il montre aussi que la série alternée converge vers ln 2

1734 – Leonhard Euler (1707-1783) introduit les nombres zêtas. Il calcule zêta(2) = Pi² / 6 = 1, 644…. Il montre que les pairs sont des multiples de puissances de Pi. Il envisage les multizêtas.

1977 – Roger Apéry (1916-1994) calcule zêta(3) = 1,202…, le premier cas impair. Il montre que ce nombre est irrationnel.

1990 – Don Zagier (1951- ) et Hofmann remettent à jour les nombres multizêtas.

2012 – Francis Brown démontre une conjecture (de Deligne et Ihara) faisant intervenir les multizêtas.

MULTIZÊTAS

Une extension des nombres zêtas en posant au dénominateur des produits de puissance.

Exemple

Ces nouveaux nombres permettent de définir une nouvelle algèbre

Exemples

Certaines valeurs sont connues

Exemple

Valeur conjecturée par Zagier sur la base d'expérimentations numériques, et prouvée par Broadhurst en 1996.

Applications théorie des nœuds, diagrammes de Feynman, théorie quantique des champs …

Suite	Zêta de Riemann
Voir	Calcul et calcul mental Divisibilité Euler – Index Géométrie – Index Identités remarquables Isopérimètre Nombres premiers Série Harmonique Théorie des nombres – Index
Site	Fonction zêta de Riemann – Wikipédia Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann – Wikipédia
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Zeta.htm