NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ITÉRATIONS

 

Débutants

Fibonacci

Nombres de

FIBONACCI et Cie

 

Glossaire

Suite et série

 

 

INDEX

 

Fibonacci

 

Itérations

 

Fibonacci

Lapins

Abeilles

Grenouilles

 

Sommaire de cette page

>>> Le coup du lapin

>>> Compter les lapins

>>> Formulation

>>> Lapins vivants ou morts

>>> Amusement

>>> Suite binaire dorée

>>> Programmation

 

 

 

 

Suite de Fibonacci

LAPINS

  

Leonardo Pisano Fibonacci (v. 1175 – v. 1250) est le plus connu des mathématiciens du Moyen Âge. Il est surtout connu par la suite de nombres qui porte son nom*. Elle aurait été découverte en comptabilisant les lapins suite à leur reproduction. Fibonacci met au point la formule qui permet de déduire la quantité de lapins de la saison suivante à partir des quantités des saisons précédentes. Cette formule devient la première formule avec récursivité connue de l'histoire. Ce fut une contribution majeure à la partie des maths nommée combinatoire.

 

* J'avais écrit suite de nombres éponyme et Jean-Claude I. me corrige avec raison, car éponyme veut dire: qui porte son nom.  On pourrait écrire: Fibonacci est le mathématicien éponyme d’une suite de nombres qui a fait de lui l'un des savants les plus connus du Moyen Âge. Voir Éponyme dans le DicoCulture

Anglais: The problem of rabbit's reproduction

 

 

LE COUP DU LAPIN

 

*    Bébé lapin deviendra grand et sera en mesure de procréer. Il lui faudra pour cela attendre un mois …

*    Supposons que, chaque mois, un couple de lapins donne naissance à un autre couple de lapin (consanguinité mise de côté). En commençant par un couple, le mois suivant, il y en aura 2 puis 4, puis 8.En fait, au mois n, ils seront 2n. Dans ce cas la progression est exponentielle.

*    Oui, mais bébé lapin doit devenir grand pour être en mesure de procréer.

 

 

Les naissances des lapins selon Fibonacci

 

*    En janvier un jeune couple de lapins est réuni.

*    En février, ce couple donne naissance à un couple de lapereaux.

*    La suite suit les règles suivantes:

*      Un couple adulte donne naissance à un couple de lapereaux tous les mois;

*      Par contre un couple de lapereaux doit attendre un mois avant d'atteindre sa maturité et, adulte, se mettre à procréer tous les mois.

*    Combien de couples lapins selon le mois de l'année?
 

Illustration

 

*    En haut le numéro du mois de 1 à 7 (rang de la suite de Fibonacci).

*    En vert les lapereaux et en rouge les lapins adulte en âge de procréer.

*    Un numéro identifie chacun des couples.

*    La flèche bleue signale une naissance d'un couple de lapereaux.

Explications

 

*    Total des couples de lapins existants à chaque saisons: 1, 1, 2, 3, 5, 8 … c'est la fameuse suite de nombres de Fibonacci.

*    Au mois 7, parmi les 8 couples existants, seuls 5 sont adultes et vont procréer, soit: 8 + 5 = 13 couples.

*    C'est la règle de calcul pour la saison suivante: il y aura ceux qui sont déjà là plus ceux qui existaient le mois précédent.
Soit, au mois 8, par exemple: 13 existants + 8 nouveaux = 21.

 

Qtén+1 = Qtén + Qté de ceux qui peuvent procréer

Or, ceux qui peuvent procréer étaient présents l'année précédente.

Qtén+1 = Qtén + Qtén-1

 

 

Présentation en arbre

 

 

Compter les lapins

 

*    Tableau montrant l'évolution du nombre de lapins, de lapereaux et total de la population de lapins.

 

*    La règle de calcul de la quantité de lapins le mois suivant apparaît très clairement (flèches): décalage d'un cran vers la gauche.
 

Merci à Vincent Thominet pour sa contribution

 

Formulation

 

*    La quantité pour le mois n+1 (21) est égale à celle de tous les présents le mois n (13) plus toutes les naissances.

*    Or, celles-ci résultent du nombre lapins adultes présents (8 lapins en 6e mois) qui est, lui-même, la quantité totale de l'année précédente (8 lapins et lapereaux de l'année encore précédente (total 8 en mois 5).

 

Qn+1 = Qn + Qn–1

 

*    En examinant la croissance la population tous les mois, une surprise nous attende!

*    Par exemple pour passer de 21 à 34, il faut multiplier 21 par 1,6.
Pour passer de 34 à 55, le mois suivant, le rapport est 1,61.
Plus on progresse et plus le rapport converge vers la valeur 1, 618 …. qui est le nombre d'or.
 

 

Bilan

Le mode de reproduction des lapins n'est sans doute pas exactement conforme à cette loi. Notamment, une portée n'est que rarement limitée à un couple male-femelle. De plus, ils ne vivent pas indéfiniment …

Voir Croissance logistique qui tient compte

du manque de nourriture.

 

 

Lapins vivants ou morts

 

*    Même règle, mais le lapin ne vit que deux ans.

*    En rose, la ligne de vie et en bleu la ligne de la procréation.

*    Les lapins sont identifiés par un numéro (ici de 1 à 20 dans les colonnes centrales).

*    Dans ce cas la formule de récurrence est également très simple:

 

Qn+1 = Qn–1 + Qn–2

 

C'est la suite de Padovan.

 

 

 

 

Amusement

 

*    Prenons A pour Adulte et N pour nouveau-né. Le passage à la ligne suivante (mois suivant) consiste à remplacer N par A et A par AN.


 

 

Voir Azaazaza

 

 

 

Suite binaire dorées

 

*    La même chose que ci-dessus en binaire. Certains anglophones s'en amusent en l'appelant: rab-bit. D'autres, en référence au nombre d'or, l'appellent la suite binaire dorée.

 

0

1

10

101

10110  (101 vient du dessus et 10 de la ligne d'avant)

10110101

1011010110110

101101011011010110101

10110101101101011010110110101101

 

*    La suite des bits se poursuit indéfiniment.

C'est la suite OEIS A003849 – The infinite Fibonacci word

(start with 0, apply 0->01, 1->0, take limit).

 

Illustration originale

*    La droite de pente égale au nombre d'or. Mettre 1 lorsque la droite coupe le quadrillage horizontal (trait bleu) et 0 pour le vertical (trait rouge).

 

Constante du lapin (rabbit constant)

*    Chaque suite est un mot binaire. Présentée avec 0, … elle a une valeur décimale. Cette valeur tend vers: 0,7098034428 ... OEIS A014565

 

 

 

Autres façons de créer la suite binaire dorée

*      La 2e colonne donne les multiples du nombre d'or (1,618). Sa partie décimale est comparée à l'inverse du nombre d'or (0,618). La colonne de droite est à 1 si l'inverse est plus grand que la partie décimale et -1 dans l'autre cas.

 

*    Encore plus amusant! Considérez les parties entières des multiples du nombre d'or M = (1, 3, 4, 6, 8 …). Si dans la suite des nombres N = (1, 2, 3, 4, 5, 6…) le nombre est présent dans M, mettre 1 sinon mettre 0. Ce qui donne: (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, …).

 

Pour les cinquante premiers multiples

Partie entière des multiples de Phi

Présence du nombre

1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 50, 51, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 63, 64, 66, 67, 69, 71, 72, 74, 76, 77, 79, 80

1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1

C'est la suite OEIS A005614 - The binary complement of the

infinite Fibonacci word A003849 (décrite ci-dessus).  

 

Fractale

*    La suite binaire dorée présente une structure fractale: elle contient une copie d'elle-même. Une des figurations consiste à dessiner un trait pour chaque bit; en avant si le bit est nul; à droite ou à gauche selon que le bit 1 est d'un rang pair ou impair.

 

Notes: Plus d'information sur le site indiqué. Il existe aussi une figure fractale dite lapin de Douady qui n'a rien à voir avec celle-ci.

 

Voir Fibonacci et fractales / Spectre numérique d'un nombre réel

 

 

Programmation Maple

 

Commentaires

 

La programmation est assez élémentaire.

Les premières valeurs sont placées en a et b. Une troisième variable c est mise en jeu pour mémoriser temporairement le total.

La boucle for  … do … od fait tourner une boucle de calcul dix fois.

Le calcul du total a + b est placé en c et les valeurs de a et b sont mises à jour.

 

L'impression donne le rang (deux de plus que le pointeur i) et la valeur numérique du total c.
 

Voir  Programmation Fibonacci en Scratch / Programmation des k-bonacci /  Programmation – Index

 

 

 

 

Suite

*         Abeilles

*         Grenouilles

Voir

*         Calcul mental – Index

*         Chaîne d'Or

*         Croissance logistique

*         Géométrie – Index

*         Nombre d'or

Site

*         The Golden String of 0s and 1s – Dr Ron Knott – 2005

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/FiboLapi.htm