loi de la logique, fonction OU exclusif

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/05/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Rubrique LOGIQUE
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Sommaire de cette page >>> Logique formelle / raisonnement / intelligence artificielle >>> Théorie des ensembles (mathématiques modernes) >>> Logique / algèbre de Boole >>> Réalisation / circuits logiques / ordinateurs >>> Additionneur >>> Double ou exclusif >>> Zéro en ou exclusif

FONCTION LOGIQUE "OU EXCLUSIF"

OU EXCLUSIF

DISJONCTION EXCLUSIVE

UNION EXCLUSIVE

De deux choses: l’une ou l’autre

mais pas les deux à la fois

Fromage ou dessert mais pas les deux!

Anglais: Exclusive OR, abrégé en XOR

Logique formelle – Raisonnement – Intelligence artificielle

Disjonction exclusive

S = A OU_EX B

Simple

Je mets mon pull ou mon manteau, mais pas les deux.

Évolué

J’aime les animaux ou ce qui a de la fourrure, mais pas les animaux à fourrure.

Particulier

Je mange ma soupe ou ma viande.

Je prendrai le train ou l’avion.

Formulations non ambiguës.

THÉORIE DES ENSEMBLES

(Mathématiques modernes)

Union exclusive	Ou Différence symétrique
S = A w B	S = A ∆ B

On remarque que

A w B =

(A sans B)

(B sans A)

Qui se note

A w B =

(A ET B)

(B ET A)

Rappel

Le symbole veut dire non

Diagramme de Venn

Voir Diagramme de Venn

LOGIQUE / ALGÈBRE DE BOOLE

OU EXCLUSIF (XOR)

S = A B

Table de vérité

A	B	S = A B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Fonctions

Diagramme de Karnaugh

Voir Diagramme de Karnaugh

RÉALISATION:

CIRCUITS LOGIQUES / ORDINATEURS

Circuit électrique:

va-et-vient

Circuit électronique:

porte ou-exclusif

APPLICATION: Additionneur

Comment construire le circuit logique qui permettra l'addition en binaire?

Table de vérité de l'addition

A	B	Retenue R	Somme S
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

L'unité correspond à un OU exclusif, quant à la retenue, c'est un ET

Addition en binaire

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

On se souvient que 10 binaire vaut 2 en décimal.

Circuit logique

Voir Explications détaillée et montage d'un additionneur complet

DOUBLE ou exclusif

Quelle est la table de vérité d'une telle expression S = A B C ?

Écrivons la table de vérité, en la décomposant en deux étapes de calcul. On notera également la quantité de 1 dans A,B et C.

A	B	*S' = A* B	C	*S = S'* C	*Qté de 1*
0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	0	0	2
0	0	0	1	1	1
0	1	1	1	0	2
1	0	1	1	0	2
1	1	0	1	1	3

Bilan: la double exclusivité donne 1 lorsque la quantité de 1 dans A, B et C est impaire.

On note aussi que la valeur 1 de C agit en inversant (1001) le ou exclusif de A et B (0110).

Illustration

Le ou exclusif de A, B et C est à 1 pour les quatre parties colorées foncées et à 0 pour les trois parties en jaune clair.

Cette fonction est équivalente à la fonction parité impaire des varaibles ou encore à la somme mod 2 des variables.

Voir Théorie des ensembles

Exemple avec ensembles de nombres

Les 1, 5 et 7 sont exclusivement

dans A, B et C et le 4 est dans les trois

Fonction dans l'un mais dans aucun des autres

Le ou exclusifs sur trois variables élimine le "trèfle" sauf sa partie centrale.

Quelle est la fonction qui l'élimine aussi ?

Zéro en ou exclusif

Que se passe-t-il si on applique la même valeur sur les deux entrées d'une porte ou exclusif?

La sortie reste à zéro, bien entendu!

Un truc de programmation au bon vieux temps des assembleurs (langage très proche de la machine et qui devait être optimisé pour gagner en vitesse et en place mémoire):

Au lieu de mettre à zéro une cellule-mémoire, faire le ou exclusif d'une valeur avec elle-même, plutôt que de commander sa mise à zéro. On économise une instruction.

Sur un bit

A	A	A A
0	0	0
1	1	0

Sur un mot de n bits

A =	1	1	1
A =	1	1	1
A A=	0	0	0

Suite	Implication Multi-variable – Diagramme de Karnaugh Logique – Index
Voir	Énigmes et paradoxes Fractales Intelligence artificielle Logique Outils de la logique Raisonnement
Sites	Algèbre des parties d'un ensemble – Wikipédia Fonction OU exclusif – Wikipédia Disjonction logique – Wikipédia XOR – Wolfram MathWorld Symmetric difference – Wikipedia
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/LoLoOUex.htm