collection de nombres, nombres en virgule fixe ou flottante

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/02/2019 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Format fixe >>> Format flottant >>> Codage 32 bits et 64 bits >>> Exemple de codage: nombre entier >>> Exemple de codage: nombre décimaux >>> Valeurs en flottant >>> Opérations en virgule flottante >>> Puissance de calcul

CODAGE DES NOMBRES

dans les ordinateurs

Comment indiquer un très grand nombre (ou un très petit) à un ordinateur, par exemple ? Pour un traitement numérique, d'une manière générale.

Comment réaliser des opérations avec de tels nombres?

Le seul but de cette page est de vous donner quelques principes. Si vous devez pratiquer le codage en virgule flottante, référez-vous à la norme prévue pour votre application.

FORMAT FIXE (binaire)

Entier

Prenons l'exemple d'un ordinateur qui réserverait 16 bits pour coder un nombre.

Une succession de 16 chiffres (bits) tous à 1, convertis en décimal donnerait:

1111 1111 1111 1111 _{Base 2} = 65 535 _{Base 10} = 2¹⁶ – 1.

En règle générale, le plus grand nombre que l'on peut coder avec n bits est: 2ⁿ – 1.

Codage

Le bit à droite est dit de poids faible (LSB: least significant bit);
L'avant-dernier à gauche est celui de poids fort (MSB: most significant bit);
Le dernier à gauche est le bit de signe.

Positif et négatif

Les nombres positifs sont codés normalement; tandis que les nombres négatifs sont codés selon leur complément à deux.

En pratique, voici ce qu'il faut faire avec 21 par exemple: coder, inverser, ajouter 1. Pour passer du négatif au positif: inverser et ajouter 1.

Voir Explications plus détaillées

FORMAT FLOTTANT (binaire)
Nous connaissons la notation scientifique qui normalise tous les nombres décimaux avec une mantisse comprise entre 1 et 9,999… et une puissance de dix restituant la grandeur du nombre. Nous connaissons également la limitation des nombres codés en binaire sur un certain nombre de bits. Que faire si le nombre à coder dépasse? Pourquoi ne pas se diriger vers une sorte de notation scientifique pour binaire: c'est le format flottant.	Exemples 300 000 = 0,3 10⁶ 0,3 est la mantisse (ou significande) 6 est l'exposant. Avec 16 bits, codage des nombres de - 32 768 à 32 767 La notation est dite flottante car elle consiste à faire glisser les nombres significatifs à droite ou à gauche de sorte que le nombre tienne dans le format.
La notation flottante comprend trois composantes: le signe le significande (aussi appelé mantisse), et l'exposant de la puissance de 2. Le significande est exprimé en binaire complémenté à deux pour les nombres négatifs.	Le nombre 0 est représenté par tous les bits à 0. Un décalage du nombre vers la gauche correspond à une multiplication par 2 du nombre; et vers la droite, à une division par 2. La normalisation consiste à décaler le nombre jusqu'à obtenir un significande compris entre 1/2 et 1. De sorte que le premier bit est toujours égal à 1. Pas besoin de le mémoriser. Il est implicite.
Les nombres décimaux convertis en binaire peuvent conduire à des surprises. Alors méfiance! Erreurs d'arrondis qui peuvent se propager lors de longs calculs.	Après calculs divers un 3 peut se retrouver sous la forme 2,9999991.

FORMAT FLOTTANT 32 et 64 bits

Exemple de codage sur 32 bits

Caractéristiques

Exemples de codage – Nombre entier 12

Nombre 12 en binaire flottant

Notez qu'il s'agit d'un exemple de codage. Si vous devez effectuer un codage, référez vous aux normes en vigueur dans le cadre de vos applications. Ici, par exemple, la norme indique d'ajouter 3 aux exposants pour 8 bits. Pour un codage sur 32 bits la norme exige d'ajouter 8. Voir les sites en références

Nombre –12 en binaire flottant: deux façons de coder le négatif

Voir Complément à deux

Exemples de codage – Nombres décimaux

Codage de quelques nombres sur 32 bits

En décimal, le plus grand nombre vaut: (2¹²⁸ – 2¹⁰⁴) =

340 282 346 638 528 859 811 704 183 484 516 925 440,0

Pour compléments d'informations sur le codage voir le site

IEEE floating-point representations of real numbers

Voir Pi / Zéro / infini / Grands nombres

OPÉRATIONS EN VIRGULE FLOTTANTE – ADDITION
Notations
	Formelle	Flottant	Classique
Soit deux nombres à ajouter	x, y	0,912 345 E5 0,512 345 E2	91 234, 5 51, 2345
et le résultat cherché	z = x + y		91 234, 5 + 51, 2345 91 285, 7345
Les mantisses	f_x, f_y, f_z	f_x = 0,912 345 f_y = 0,512 345
Les exposants	E_x, E_y, E_z	E_x = 5 E_y = 2
Algorithme
Prendre le plus grand des exposants Supposons E_x E_y	E_z = E_x	E_z = 5
Cadrer avec le même exposant => Décaler le plus petit de	E_x – E_y	E_x – E_y = 3 f_y = 0,000 512 345
Ajouter	f_z = f_x + f_y	f_x = 0,912 345 f_y = 0,000 512 345 f_z = 0,912 857 345
Si f_z est plus grand que 1 en valeur absolue => décaler f_z de 1 cran vers la gauche et augmenter E_z de 1
Soit la somme cherchée	z = f_z E_z	z = 0,912 857 E5	91 285,7

OPÉRATIONS EN VIRGULE FLOTTANTE – SOUSTRACTION
Notations
	Formelle	Flottant	Classique
Soit deux nombres à soustraire	x, y	0,999 658 E-3 E-3
et le résultat cherché	z = x - y		0,000 999 658 0,000 994 576 0,000 005 082
Les mantisses	f_x, f_y, f_z	f_x = 0,999 658 f_y = 0,994 576
Les exposants	E_x, E_y, E_z	E_x = -3 E_y = -3
Algorithme
Prendre le plus grand des exposants Supposons E_x E_y	E_z = E_x	E_z = -3
Cadrer avec le même exposant => Décaler le plus petit de	E_x – E_y	E_x – E_y = 0 f_y = 0,994 576
Ajouter	f_z = f_x + f_y	f_x = 0,999 658 f_y = 0,994 576 f_z = 0,005 082
Si f_z est plus petit que 0,1 => décaler f_z de n crans vers la gauche et augmenter E_z de n		f_z = 0,508 2 E_z = -5
Soit la somme cherchée	z = f_z E_z	z = 0,508 2 E-5	0,000 005 082

OPÉRATIONS EN VIRGULE FLOTTANTE – MULTIPLICATION
Notations
	Formelle	Flottant	Classique
Soit deux nombres à multiplier	x, y	0,2 E4 0,4 E-2	2000 = 2 10³ 0,004 = 4 10^-3
Algorithme
Multiplier les mantisses	f_z = f_x . f_y	0,2 x 0,4 = 0, 08
Ajouter les exposants	E_z = E_x + E_y	4 + (-2) = 2
Valeur du produit cherché	z = f_z E_z	0,08 E2
Normalisation		0,8 E1	0,8 10¹ = 8

OPÉRATIONS EN VIRGULE FLOTTANTE – DIVISION
Notations
	Formelle	Flottant	Classique
Soit deux nombres à diviser	x, y	0,886 E-5 0,2 E-3	0,886 10^-5 0,2 10^-3
Algorithme
Diviser les mantisses	f_z = f_x / f_y	0,886 / 0,2 = 4,43
Soustraire les exposants	E_z = E_x - E_y	-5 - (-3) = - 2
Valeur du quotient cherché	z = f_z E_z	4,43 E-2
Normalisation		0,443 E-1	4,43 10^-2

Voir Les quatre opérations

PUISSANCE DE CALCUL
*Algorithmes* – Instructions		*Calculs* – Opérations
Ips	Instructions par seconde	Ops	Opérations par secondes.
		Flops	Opérations flottantes par secondes (floating operations per second).
Mips	Méga (Million) Instructions par seconde	Mops Mflops Gops Gflops	Méga et Giga opérations flottantes ou non par secondes.

Voir Puissance de calcul des ordinateurs / Loi de Moore et performances actuelles des micropocesseurs

Suite	Nombres en lettres Algorithmes pour la Division
Voir	Arrondis Calcul mental Conversion Décomposition des nombres Géométrie Inventaire des nombres Nom de nombres Supercalculateurs Théorie des nombres
Sites	La représentation en virgule flottante - Par Jean-Michel JOLION de l'INSA Cours sur la virgule flottante (pdf) de Alain Guyot (pour ceux qui veulent approfondir) Floating-point numbers or Why don’t my numbers add up - Simple à l'américaine Floating-Point Number Tutorial The IEEE standard for floating point arithmetic
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/FixeFlot.htm