inéquations

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Inéquations

Pas très compliqué, mais un piège nous attend … vite déjoué!

Voir aussi Initiations aux Opérations arithmétiques

Notations

Représentation sur la droite graduée

Voir Notations et symboles

Approche avec des nombres

Prenons quatre nombres et comparons-les.

Notez cette bizarrerie:

Le nombre 1 est inférieur à 5, mais – 1 est supérieur à – 5.
Comme si la supériorité changeait de camps avec les nombres négatifs.

Mais, ce phénomène est tout à fait évident en regardant le graphique.

La grande barre horizontale du zéro agit comme une espèce de miroir dans lequel tout s'inverse

les nombres positifs deviennent négatifs; et

les plus grands deviennent les plus petits.

Absolu et relatif

Les nombres avec un signe sont des nombres relatifs.

Si leur signe est éliminé, on dit que l'on prend leur valeur absolue.

Négatif => Inversion
Voyons cet effet miroir où tout s'inverse, les signes: Les nombres devenant négatifs, l'inégalité change de sens. Transformer du positif en négatif, c'est multiplier les nombres par (– 1). Et Inversement.
Le même effet d'inversion se produit en partant de nombres négatifs. Souvenez-vous que pour la multiplication: "moins par moins donne plus" >>>
Même si les deux sont négatifs. Inégalité réciproque de la première.

Généralisation

Multiplier une inégalité par un nombre négatif, inverse le sens de l'inégalité.

Notez que comme dans les égalités, les deux côtés doivent être traités de la même manière. Si on multiplie à gauche, il faut multiplier de la même quantité à droite.

Exemple

2a + 5bc > d

Multiplication par -5

– 10a – 25bc < – 5d

Comment traiter une inéquation?
Résoudre une inéquation consiste à trouver le domaine de valeurs de l'inconnue x.	x > 6 x peut prendre toutes les valeurs supérieures à 6 jusqu'à l'infini. x 6 x peut prendre toutes les valeurs supérieures à 6 jusqu'à l'infini, y compris la valeur 6.
Comme dans les équations, l'inconnue est enfouie dans une relation qu'il faut démêler. L'illustration montre une barre qui représente la longueur: x – 6. Lorsque cette barre se déplace, trois cas se présentent: L'extrémité x – 6 se trouve dans les valeurs négatives et ce n'est pas conforme à la donnée: x – 6 > 0. C'est NON! L'extrémité x – 6 se trouve dans les valeurs positives et cela convient: x – 6 > 0. C'est OUI! L'extrémité est juste sur le zéro. C'est la limite. dès que la barre dépasse cette valeur c'est OUI. Alors l'autre extrémité représentant x est sur le 6. La solution de cette inégalité est x > 6.	x – 6 > 0 x – 6 + 6 > 0 + 6 x > 6

Comment s'y prendre?

Nous venons de le voir, nous pouvons additionner de chaque côté et procéder comme pour les équations.

Hep! Sauf pour les multiplications, comme vu en début de cette page.

Addition et soustraction: ça marche

Si a > 5, alors:

a + 1000 > 5 + 1000

a – 1000 > a – 1000

Multiplication et division par un nombre positif: ça marche

Si a > 5, alors:

1000a > 5 0000

a / 1000 > 5 / 1000

Multiplication et division par un nombre négatif: ça marche en renversant

Si a > 5, alors:

–2a < –10

–a / 3 < – 5 / 3

Attention à ne pas diviser par 0

Si a > 5, alors:

a / (b – c) > 5 / (b – c) que si b c

À noter

Permutation des membres de l'inéquation, c'est possible en faisant suivre le sens.

18 > 3x + 7

3x + 7 < 18

Entraînement

Pas à pas

2x + 2

2x + 2 – x

x + 2

x + 2 – 2

> x + 5

> x + 5 – x

> 5

> 5 – 2

> 3

Du négatif

–5x + 3

–6x

> x – 5

> –8

< 8

< 4/3

a > b alors?

a + 10

a – 10

10a

a / 10

–10a

> b + 10

> b – 10

> 10b

> b / 10

< –10b

Impossible

Sans solution

2x + 10 – x

x + 10

> x + 20

> 20 ???

Multiplication par une variable

Attention, danger

Impossible si la nature de la variable n'est pas connue.

> 5

> 5a Vrai que si a positif!

< 5a Sinon

Division

Attention ne jamais diviser par zéro ou par une variable dont vous ne savez pas si elle peut prendre la valeur nulle.

(2x – 10) / 5

2x – 10

> x – 3

> 5x – 15

> 3x

< 5/3

Carrés

Deux solutions: l'une positive l'autre négative.

x² – 25

x²

> 0

> 25

> 5

< – 5

Carrés (suite)

Pas de solutions

(Ou alors imaginaires)

x² + 25

x²

> 0

> – 25

> ???

Déductions

On donne x > 5. Que dire de 2 x + 3?

2x + 3

> 5

> 2 x 5

> 10 + 3

> 13

Déductions (suite)

3 – 2x

–2x

3 – 2x

> 5

< – 5 x 2

< – 10 + 3

< – 7

Parenthèses

2(x – 20)

2x – 40

– 70

> 3(4x + 10)

> 12x + 30

> 10x

< – 7

Double inégalité

On procède comme si l'on traitait chacune séparément

– 2 <

– 10 <

– 18 <

– 9 <

9 >

(8 – 2x) / 5

8 – 2x

– 2x

– x

< – 10

< – 50

< – 58

< – 29

> 29

Bilan

1. Résolution comme les équations en additionnant, soustrayant, multipliant ou divisant chaque membre jusqu'à isoler la variable à calculer.

2. Mais attention à changer le sens de l'inégalité lorsqu'on intervertit les côtés et, aussi, lorsqu'on multiplie par un nombre négatif.

3. Ne jamais multiplier ou diviser par une variable sans maîtriser parfaitement son signe. Ne jamais diviser par zéro ou par une expression qui pourrait être nulle.

English corner

Solving an inequality means finding all of its solutions. A solution' of an inequality is a number which when substituted for the variable makes the inequality a true statement.