Orientation Glossaire	Atlas / Nombres / Algèbre Équation du deuxième degré / Diophantiennes / Différentielles
Débutant DicoMot DicoNombre	ÉQUATIONS
	Sommaire de cette page >>> Approche >>> Vocabulaire des équations >>> Résolution des équations >>> Types d'équations

Voir INDEX ÉQUATIONS >>>

Approche	Gérard et Gilbert ont autant de billes; si on y ajoute les 5 de Daniel, ils ont 25 billes; combien de billes a Gérard? On pose x la quantité de billes de Gérard. Gilbert en a x aussi; et a tous les deux cela fait x + x = 2x Avec celles de Daniel cela fait 2x + 5, ce qui donne le total de billes dont on nous dit que c'est 25. On note l'égalité: 2x + 5 = 25 Retirons 5 billes de chaque côté (ce qui ne change pas l'équilibre de l'égalité): 2x = 20 La quantité de billes de Gérard, comme celle de Gilbert est donc 10 Vérifions: 2 x 10 + 5 = 25, c'est juste! Nous venons de poser une équation (2x + 5 = 25) et de la résoudre (x = 10).
Définition	Égalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs de la ou les inconnues. Résoudre une équation f(x) = g(x), où f et g sont des applications d'un ensemble E dans un ensemble H, c'est déterminer les éléments a de E (appelés racines ou solutions de l'équation) pour lesquels l'égalité f(a) = g(a) est vérifiée. f(x) et g(x) sont les deux membres de l'équation, x est l'inconnue.
Racines	Les racines sont telles que le polynôme prend une valeur nulle. x^2 – 11x + 30 5² – 11 x 5 + 30 = 0 5 est une racine 6² – 11 x 6 + 30 = 0 6 est une racine La connaissance des racines permet de factoriser le polynôme. x^2 – 11x + 30 = (x – 5) (x – 6)

Vocabulaire des équations

Équation	Égalité de la forme:	f(x) = g(x)
Membres	Chacune des parties:	f(x) & g(x)
Inconnue	La variable:	x
Résoudre	Trouver la valeur de x pour	f(x) = g(x)
Solution ou racine	Vérification de l'égalité pour:	f(a) = g(a)
Réduire	Ramener l'équation à une équation équivalente plus simple, et si possible de type connu
Type	Équation à plusieurs variables	x, y, z …
	Équation algébrique	P(x) = 0 L'équation du cercle est une équation algébrique: x² + y² = 1. Elle définit un lieu géométrique qui est appelé une variété algébrique.
Degré	Degré du polynôme P(x)	n dans ax^n + bx^n^-1 +…
2^e degré	Équation de la forme	ax² + bx + c = 0
Système	Combinaison de plusieurs équations dont il faut chercher les solutions communes	ax + by + c = 0 a'x + b'y +c' = 0

Voir Dicomot des Maths

Résolution des équations de plus en plus dur …
Les équations algébriques étudiées au collège puis au lycée ne sont que le commencement d'une longue liste d'équations plus ou moins facile à résoudre. Les solutions sont des nombres réels ou complexes.	Équation algébrique ou polynômiale du second degré ax² + bx + c = 0 Exemple x² + 3x + 2 = 0 (x + 2)(x + 1) = 0 x1 = et x2 = – 1
En fin de lycée, on aborde les équations différentielles et intégrales qui au lieu de considérer une ou plusieurs inconnues, impliquent la variation dans le temps ou dans l'espace de ces inconnues. Les solutions sont des fonctions ou combinaison de fonctions.	Équation différentielle du deuxième ordre Exemple Trois écritures équivalentes Solutions Vérification avec c1 = 1 et c2 = 1 y = y' = exp(t) – 3 exp(-3x) y"= exp(t) + 9 exp(-3x) exp(t) + 9 exp(-3x) + 2 exp(t) – 6 exp(-3x) – 3 exp(t) – 3 exp(-3x) = 0
Méthodes algébriques (comme exposé ci-dessus) La résolution des équations différentielles n'est pas toujours évidente. Elles n'ont pas toujours (même pas souvent) une solution analytique (sous forme de fonctions). Méthodes topologiques Au début du XX^e siècle, on a commencé à utiliser des méthodes topologiques (graphiques) pour obtenir au moins des informations qualitatives sur les solutions, comme par exemple: sont-elles périodiques? Malheureusement encore bon nombre d'équations différentielles échappent à cette méthode, par exemple celles qui ont plusieurs périodes lesquelles peuvent être enchevêtrées de façon assez complexe. Méthodes numériques avec ordinateurs Durant les dernières décennies, les méthodes numériques se sont développées avec l'usage des ordinateurs. Cependant, ce n'est pas encore suffisant pour toutes ces équations sensibles à la moindre variation des conditions initiales. Sans compter sur le cumul exponentiel des erreurs d'approximation. Même en augmentant la capacité des ordinateurs certaines équations résisteront toujours à donner une solution. Méthodes ergodiques Alors, les mathématiciens ont recours à une méthode basée sur les probabilités, faisant partie de la théorie de la mesure, dite théorie ergodique. Elle transpose un problème de dynamique (souvent temporel) en examen de probabilités à un instant donné. En gros, et c'est une image, elle repose sur le fait que la croissance d'un arbre dans la forêt au cours des années serait observable en regardant simplement l'ensemble de ses congénères à un instant donné.

Voir Divers types d'équations différentielles en physique

Types d'équations

Autres

Équations à coefficients entiers Équations aux dérivées partielles Équations aux différences finies Équations avec inconnue en exposant Équations canoniques Équations caractéristiques Équations cyclotomiques (racine de l'unité) Équation d'Einstein Équations de la chaleur Équations de mouvement Équations des courbes Équations différentielles Équations diophantiennes Équations d'une droite, d'un plan Équation du temps (au sens de correction) Équations elliptiques, paraboliques, hyperboliques Équations fonctionnelles Équations intégrales Équations matricielles Équations paramétriques …

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Général	SOS – Je suis débutant Techniques de base Exemple décortiqué – Premier degré Exercices simples – Premier degré Innumérisme – Difficultés en maths Histoire de la résolution des équations Techniques de base de l'algèbre Résolutions des équations Second degré Troisième degré Plusieurs inconnues Résolution par la méthode symétrique de Lagrange Relations de Viète entre les racines Diophantiennes – Index Classification décimale - 5179
Algèbre	DÉFIS en ALGÈBRE Algorithme d'Héron - calcul de la racine carrée Complexes - équation en racine de moins un Cubique résolue par Wallis Division par zéro Équation avec 3 inconnues et degrés 2, 3 et 4 Équation avec racines carrés Équation de la droite (1^er degré) Équation de la parabole (2^e degré) Équation de Pell-Fermat Équation du 4^e degré par factorisation Équation et nombre irrationnel Équations avec exponentielle Équation (x-1/x)^1/2 + (1-1/x)^1/2 = x Équations en 100 Équations différentielles (courbure) Exponentielle égale à sa dérivée Factorisation des polynômes Factorisation des polynômes du 3^e degré Fractions continues Introduction à la théorie des nombres - exemples d'équations Méthode de Newton - résolution des équations Racine de 1 Racines des équations du 5^e degré RepUnits Somme et produit donnés Sommes des entiers, carrés … Système d'équations Transcendants - non racines d'équation à coefficients entiers
Géométrie	Équation de la droite – Exemple Aire de l'hexagone de Graham Empilement des sphères Équation de la trisection de l'angle Équation du nombre d'or Équation paramétrique de la cycloïde Équation trigonométrique en or Papillon de Lorenz Pas d'équation pour Pi Triangle équilatéral
Dénombrement	Pions blancs et noirs
Jeux	Cryptarithmes – Équation avec des lettres Démonstration de 1 égal 0 Équation au billard Équation du partage Pauli et les équations de Dieu Pépites numériques Quel est l'âge du petit-fils
En physique	Chromodynamique quantique Conservation du moment angulaire E = mc² Équation de Drake (vie extraterrestre) Équation de la mécanique quantique - Schrödinger Équation de Nottale, Chaline & Grou: fractale de la vie Équations de la relativité Équations de Maxwell Équations de Navier-Stokes Équations de Schrödinger Invariance: Galilée / Maxwell Les 12 équations de Lagrange Les 3 équations de Newton et les 14 d'Einstein Masse, relativité & photon Mercure et Vulcain Trous de vers

Origine	Latin: aequatio: égaliser
Anglais	Equation: Mathematical statement that two expressions are equal.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosE/Equation.htm