NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Somme x Produit

des chiffres d'un nombre

SP

Nous connaissons la somme des chiffres et le produit des chiffres. Et si nous les multipliions? Ici, nous garderons les calculs originaux sans recourir à des itérations dans un premier temps.

Les cas intéressants sont ceux pour lesquels le nombre serait égal au produit SP. Cela n'arrive que pour 135 et 144.

Anglais: Sum-Product numbers

Approche

Le SP (Somme x Produit) d'un nombre est le produit de la somme de ses chiffres (S) par le produit de ses chiffres (P). SP = (somme de ses q chiffres) x (produit de ses q chiffres) Qui se lit: le nombre "somme fois produit" (SP) est égal à la somme de tous les ièmes chiffres pour i de 1 à q (quantité de chiffres) multipliée par le produit de tous les ièmes chiffres pour i de 1 à q. Notes Lorsqu'il n'y a qu'un seul chiffre SP = N², car somme et produit sont égaux. Ex: SP(4) = 4 x 4 = 16. Lorsqu'il à plusieurs chiffres, tous les nombres ayant les mêmes chiffres permutés produisent le même SP. Ex 12 (1+2) (1x2) = 3 x 2 = 6 … et 21 (2+1) (2x1) = 3 x 2 = 6 …

Exemples pour les nombres de 0 à 99

(En rouge les nombres en double)

Nombres SP
Les nombres SP sont ceux pour lesquels N = SP. Il y en a deux triviaux (0 et 1) et seulement deux intéressants: Il n'y en a pas d'autres; prouvé par David Wilson. Il a été prouvé aussi qu'il y en a une quantité finie quelle que soit la base utilisée. Notez que S(144) = 9 = 3² et P(144) = 16 = 4². Deux carrés. Conséquence: le produit est un carré: 144 = 9 x 16 = 3² x 4² = 12²

Voir Nombre = Somme des chiffres de n^k + Produit des chiffres de n^h

Presque SP
Nombres tels que N = SP k (écart). Exemple (pour N jusqu'à 10 000)

Itération

Prenons le SP d'un nombre et appliquons à ce nouveau nombre le calcul SP. Et, ceci autant de fois que possible. Exemple On note: 132, 36, 162, 108, 0 Autres exemples 0, 0 1, 1 2, 4, 16, 42, 48, 384, 1440, 0 (6 cycles) 3, 9, 81, 72, 126, 108, 0 4, 16, 42, 48, 384, 1440, 0 5, 25, 70, 0 6, 36, 162, 108, 0 7, 49, 468, 3456, 6480, 0 8, 64, 240, 0 9, 81, 72, 126, 108, 0 10, 0 11, 2 … (7 cycles) 88, 1024, 0 115, 35, 120, 0 114, 24, 48, 384, 1440, 0 111, 3, 9, 81, 72, 126, 108, 0 567, 3780, 0 789, 12096, 0 123456, 15120, 0 92, 198, 1296, 1944, 2592, 3240, 0 999, 19683, 34992, 52488, 69120, 0 9996, 144342, 6912, 1944, 2542, 3240, 0 Compte tenu de la fréquence des 0 et des produits donnant un 0, se peut-il que tous les nombres itérés de cette manière aboutissent sur 0 ? Pas tous car, il y aura ceux qui boucleront sur 135 ou 144 (voir nombre SP ci- dessus) et ceux qui vont boucler sur 1. On retrouve les quatre nombre SP, ce qui est normal ! Exemples 1, 1 332, 144, 144 … 89, 1224, 144, 144 … 139, 351, 135, 135 … Suite en Table des nombres SP en itération Les nombres 2 et 11, font fort. Il faut 6 et 7 itérations pour aboutir à 0. Pas mieux jusqu'à 3,7 million. 11, 2, 4, 16, 42, 48, 384, 1440, 0 Ce record mis de côté, on trouve successivement: 12 avec 4 itérations. 13 avec 5 111 avec 6 36 699 avec 7; jeu égal avec 11. 1 233 699 le suivant avec 7 itérations. 3 777 788 avec 8. 11 138 888 suivant avec 8. Aucun autre jusqu'à cent millions. Cas du record à huit itérations: 3 777 788, 21 666 624, 684 288, 884 736, 1 161 216, 1 296, 1 944, 2592, 3 240, 0.

Voir Autres motifs à cycles

Suite	Somme et produit d'un nombre – Identiques Égalités entre sommes et entre produits Boucle Syracuse (ou 3x + 1) Cycles de Kaprekar Somme-Produit des chiffres – Index
Voir	Addition Allumettes et nombres Bases de numération Chiffres à barre – Comparaison Chiffres en lettres Nombres à barres en lettres Nombres en toutes lettres Numération - historique Pannumérique Somme et produit en équations Unité des puissances
Site	Sum-product number – Mathworld (avec démonstration de la finitude des nombres SP pour chaque base)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Chiffres/MulSP.htm