NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/10/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Somme et produit >>> Surface et périmètre

ÉQUATIONS du 2^e degré

 Somme & Produit

Trouvez deux nombres dont on connait la somme et le produit de deux nombres ?

Voir Somme et produit

Devinettes

Problème de Viète: nombres dont on connait le produit et la différence

Trouver les dimensions du rectangle dont l'aire vaut 20 et la différence entre côté est 8.

Viète (1591 – Nouvelle algèbre – Zététiques III du livre I)

Quels sont les couples de nombres entiers x et y tels que:

Solution

2 + 2 = 4 2 x 2 = 4 11 + 1,1 = 12,1 11 x 1,1 = 12,1

Exemple de solution pour S = P = 4 Exemple de solution pour S = P = 12,1

SOMME ET PRODUIT – Calculons la somme et le produit des racines
Équation:	ax² + bx + c = 0
Discriminant:	= b² – 4ac
Racines:
S = Somme des racines.	S = x1 + x2 = –b/2a – /2a –b/2a + /2a = –b / a
P = Produit des racines.	P = x1 . x2 = (–b/2a – /4a²) (–b/2a + /4a²) = (–b/2a)² – (/2a)² = b²/4a² – /4a² = b²/4a² – b²/4a² + 4ac/4a² = c / a
Équation en divisant par a (non nul):	x² + bx/a + c/a = 0
Équation équivalente à celle du départ:	x² – Sx + P = 0
Exemple:	a + b = 7 & a . b = 10 est solution de x² – 7x + 10 = 0

Solution des équations en général ?		haut
Résolution des équations, relations entre racines En 1832, Évariste Galois montre qu'il est IMpossible de résoudre des équations supérieures au quatrième degré. En revanche, il est possible de caractériser les relations entres les racines et de mettre en évidence leurs symétries. Par exemple x² – 2 = 0 a deux racines symétriques: .	Exemple avec une équation du second degré dont les racines sont r et s: (x – r) (x – s) = x² – (r + s) x + r · s = 0 À comparer à: x² + bx + c = 0 La constante c vaut le produit des racines et le coefficient b de x, le produit.
Il existe un outil ingénieux qui permet de progresser sur la connaissance des racines des équations: les nombres p-adiques. On démontre que, s'il existe une solution dans ce monde p-adique, alors la solution existe aussi en réel.

SOMME ET PRODUIT – Recherchons les racines de cette nouvelle équation
Équation:	x² – Sx + P = 0
Appelons s = ½ S. Les racines sont:	x1 = s + (s² – P) x2 = s – (s² – P)
Remarque: on observe une symétrie autour de s = S/2.	x1 = s + t x2 = s – t
Leur somme:	x1 + x2 = 2s = S
Leur produit:	x1 . x2 = s² – (s² – P) = P

SOMME ET PRODUIT – Exemple
Somme et produit:	S = a + b = 7 P = a . b = 10
Solution de:	x² – 7x + 10 = 0
Calcul sous radical:	S² – P = (7/2)² – 10 = 49/4 – 40/4 = 9/4
Valeur de ce radical:	(S² – P) = (9/4) = 3/2
Racines: Les deux nombres dont la somme est 7 et le produit 10 sont 2 et 5	x1 = S + (S² – P) = 7/2 + 3/2 = 5 x2 = S – (S² – P) = 7/2 – 3/2 = 2

Voir Trouver k nombres connaissant la somme et le produit

SOMME ET PRODUIT – Exemple de raisonnement avec imaginaires
Données	S = 2 (soit s = 1) P = 4
Équation	x² – Sx + P = 0 x² – 2x + 4 = 0
Changeons d'inconnue en exploitant la remarque ci-dessus	x1 = s + t = 1 + t x2 = s – t = 1 – t
Le produit devient	x1 . x2 = (1 – t)(1 + t) = 1 – t²
Or, nous connaissons la valeur du produit	P = 4
La nouvelle équation devient	1 – t² = 4 t² = -3
Il faut se résoudre à utiliser les imaginaires avec i² = -1	t² = 3i² t1 = i3 t2 = – i3
Drôles de racines!	x1 = 1 + i3 x2 = 1 – I3
Pourtant leur somme donne	x1 + x2 = 2
Et le produit	x1 . x2 = 1 – 3i² = 1 + 3 = 4
Il existe bien deux nombres dont la somme est 2 et le produit 4, mais ils sont tous les deux complexes (une partie est imaginaire).

Suite en Somme des inverses et généralisation somme et produit

SURFACE ET PÉRIMÈTRE
En algèbre: Somme et produit dans l'équation du deuxième degré	En géométrie: Surface = produit, alors que Périmètre = double de la somme
Alors attention à cette autre notation impliquant un facteur 2 Si S* = Surface (qui est un produit) et, P* = Périmètre (qui est une somme). La formule devient: x.y = P = S* 2 (x + y) = 2S = P* x² – P*x / 2 + S* = 0

Voir Problème babylonien

Devinette – Solution

Problème de Viète: nombres dont on connait le produit et la différence

Trouver les dimensions du rectangle dont l'aire vaut 20 et la différence entre côté est 8.

La solution est basée sur cette identité remarquable:

Il suffit d'y reporter nos nombres:

(8)² + 4 x 20 = 144 = 12² = (a + b)²

La somme est 12 et la différence 8

(a + b) + (a – b) = 12 + 8 = 20 = 2a

a = 10 et b = 2

Autre exemple

Produit = 12 différence = 1

1² + 4 x 12 = 49 = 7² => a = 4 et b = 3

Retour / Carré et carrés inférieurs (propriété générale)

Autre devinette

Quels sont les trois couples de nombres entiers x et y tels que le produit divisé par la somme = K. Toutes les réponses données à droite sont les seules possibles. Évidemment, il existe toujours une solution du type: Par contre, pour trouver les autres, ce n'est pas évident par calcul.
Table des couples (n et m) pour K de 2 à 20

Retour

Suite	Astuce pour résolution d'équations avec somme et produit Application somme-produit au calcul d'une longueur de corde dans un cercle Égalités de sommes et de produits Exemple de somme et produit Différences de carrés Résolution simple Somme et produit divisibles Autres sommes = produits Trouver k nombres connaissant la somme et le produit Voir haut de page
Voir	Algorithme d'Héron Équations en poèmes Géométrie – Index Méthode de Newton Quotient et différence Somme fois produit des chiffres Système d'équations – Somme100
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