nombre 243 et opérations

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Nombres QUATROPS

et les quatre opérations

Énigme impliquant addition, soustraction, multiplication et division de deux nombres.

Ex: 243 = (24+8) + (24-8) + (24x8) + (24/8)

= (54+2) + (54-2) + (54x2) + (54/2)

Généralisation aux nombres "quatrops" (quatre opérations). Une partition particulière des nombres. Où l'on redécouvre les multiples des nombres carrés et les nombres sans facteur carré.

Voir Nombres quatrops – Débutants

Énigme et solution pas à pas

Quels sont les couples de nombres tels que la somme est 243 lorsqu'on ajoute:

leur propre somme,

leur différence

leur produit, et

leur quotient (entier).

La mise en équation est très simple.

On convient que x > y, sans que cela change la nature de la question.

243 = (x + y) + (x – y) + (x . y) + (x / y)

243 = 2x + x.y + x/y = x (2 + y + 1/y)

La dernière étape utilise une identité remarquable.

On remarque en premier lieu que 243 = 3⁵.
On peut le déduire car 2 + 4 + 3 = 9, ce nombre est divisible par 9;

243 = 9 x 27; et 27 = 3³; soit: 243 = 3² x 3³ = 3⁵.

Deuxième remarque: (y+1) ne peut pas diviser y.
Dans la mesure où x est un entier, c'est que (y+1)² divise 243
Or, les diviseurs carrés de 243 sont 1, 9 et 81. Avec y+1 = 1, 3 ou 9

Avec ces valeurs nous aurions:

y = 0 => x = 243 x 0 / 1² impossible

y = 2 => x = 243 x 2 / 3² = 54

y = 8 => x = 243 x 8 / 9² = 24

L'auteur de cette énigme est: Roger La Ferté

Voir Puissance

Généralisation

Cette énigme pourrait être posée en remplaçant 243 par de nombreuses autres valeurs. Dans l'expression:

Il suffit que N = k (y + 1)² pour que cette énigme marche.

Exemple:

y = 6; (y + 1)² = 49 => x = 49k x 6/7²

avec k = 9, par exemple, voici l'énigme:

Quels sont les couples de nombres tels que la somme est 441 lorsqu'on ajoute:

leur propre somme,

leur différence

leur produit, et

leur quotient (entier).

On remarque que 441 est divisible par 9: 441 = 9 x 49 = 9 x 7²

Diviseurs carrés de 441: 3 et 7 => y = 2 ou 6.

y = 2 => x = 441 x 2 / 3² = 98

y = 6 => x = 441 x 6 / 7² = 54

Tous les nombres entiers tels que est un entier fonctionnent.
Cas particulier lorsque y = x, alors n vaut (y + 1)²

Pour x = 9 et y = 9, N = 10² = 100.
Pour x = 18 et y = 9, N = 18 x 100 / 9 = 200

Pour x = 27 et y = 9, N = 27 x 100 / 9 = 300
Etc.

Nombres Quatrops

Les nombres quatre opérations (Quatrops) N sont ceux tels que deux nombres X et Y ajoutés, retranchés, multipliés et divisés, le tout sommé, donne un nombre entiers.

Un nombre quatrops est un nombre somme des résultats des quatre opérations, effectuées sur deux nombres.

Voici tous les nombres quatrops jusqu'à 100 et
leur forme générique en N = x . (y+1)² / y:

Les nombres (<100) qui ne figurent pas dans cette liste sont des nombres non-quatrops. Ce sont les nombres sans carré (ou square-free): 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, ...

Suite Table jusqu'à 250

Propriétés

Carrés

Un nombre carré peut toujours s'écrire sous la forme de la somme des résultats des quatre opérations sur le même nombre:

C = (a+a) + (a-a) + (a.a) + (a/a) = a²+ 2a + 1 = (a+1)²

Voir Nombres carrés / Identité remarquable

Nombres en 4k et 1

Tous les nombres divisibles par 4 (N = 4k) sont de la forme :

N = (k+1) + (k-1) + (k.1) + (k/1) = 4k

Voir Divisible par 4

Nombres en 9k et 2

Tous les nombres divisibles par 9 (N = 9k) sont de la forme :

N = (2k+2) + (2k-2) + (2k.2) + (2k/2) = 9k

Voir Divisible par 9

Nombres en 16k et 3

Tous les nombres divisibles par 16 (N = 16k) sont de la forme :

N = (3k+3) + (3k-3) + (3k.3) + (3k/3) = 16k

Nombres en (c+1)² . k et c

Tous les nombres divisibles par (c+1)², soit N = (c+1)²k, sont de la forme :

N = (k.c+c) + (k.c-c) + (k.c.c) + (k.c/c) = (c+1)².k

En bilan, les nombres QUATROPS sont tous les MULTIPLES DES CARRÉS. En remarquant que les quantités de présentations dans les deux cas sont égales.

Exemple:

16 = 4² = 4 x 2² => 2 présentations, et

16 = (4+1) + (4-1) + (4x1) + (4/1) = (3+3) + (3-3) + (3x3) + (3/3) => 2 présentations.

Les nombres non-quatrops sont en fait les nombres sans carré (square-free).

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