Types de nombres selon facteurs

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/12/2022 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES et leurs Facteurs

TYPES

Index

Types de nombres composés selon les puissances de leurs facteurs et relations entre facteurs.

Voir Fonctions arithmétiques

Facteurs – Bases
Diviseurs Divisors	Tous les nombres pouvant diviser N, y compris 1 et N.	D(360) = = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}	>>>
Diviseurs propres Proper divisors	Tous les diviseurs sauf N.	= {1, 2, 5}	>>>
Facteurs Facteurs premiers Diviseurs premiers Prime factors	Diviseurs premiers de N.	Pour 300 = 2². 3 . 5², les facteurs sont: 2, 3 et 5.	>>>
Diviseur premiers	Ceux qui sont premiers deux à deux et dont le produit est égal à n.	Pour 12, les diviseurs 3 et 4 (3 x 4 = 12) sont unitaires.	>>>
Facteur le plus grand Greatest prime factor	Le facteur le plus grand est p_m	Pour 300 = 2². 3 . 5², le facteur le plus grand est 5. p_m (360) = 5	>>>
Quantité de facteurs Quantity of prime factors	Nombre de facteurs distincts.	360 = 2³ . 3² . 5	>>>
Radical Radical of an integer	Produit des facteurs premiers de N.	Pour 300 = 2². 3 . 5², le radical est: Rad(300) = = 2.3.5 = 30	>>>
*Racine numérique*	Pour mémoire: la somme des chiffres du nombre.	RN(123) = 1+2+3=6	>>>

Voir Tables des facteurs et diviseurs

Radical d'un nombre

Selon le théorème fondamental de l'arithmétique, les facteurs (ou diviseurs premiers) des nombres jouent un grand rôle.

Les mathématiciens ont donné des noms au type de nombres selon la quantité de leurs facteurs et selon leur répétition.

Notamment, le socle d'un nombre – ses facteurs sans exposants – est appelé le radical du nombre. Le radical d'un nombre est le produit de ses facteurs tous portés à la puissance unité.

Tout nombre est le produit unique de nombres premiers.

Ex: 360 = 2³ . 3² . 5

Ex: Rad(360) = 2 . 3 . 5 = 30

Le radical d'un nombre est le produit de ses diviseurs premiers.

Voir Radical dans le DicoMot Maths

Types de nombres selon leurs facteurs et diviseurs

Facteurs – Quantité
N. Premier Prime (number)	Un seul facteur (N). Deux diviseurs (1 et N). Tous les autres sont composés.	2, 3, 5, 7, 11 …	>>>
Composé Composite	Trois ou plus facteurs premiers distincts ou non.	4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,, 16, 18, 20, 21, 22 …	>>>
Hautement composé Highly composite	Nombre dont la quantité de diviseurs est plus grande que celle de tous les nombres plus petits.	2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240 …	>>>
Abondant / Déficient / Parfait …	Selon la quantité de diviseurs.		>>>
Semi-parfaits	Somme de certains de ses diviseurs	6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54 …	>>>
Refactorisables	Nombre divisible par la quantité de ses diviseurs	1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56,…	>>>
N. Sphénique Sphenic number	Simple à trois facteurs (soit trois facteurs distincts non répétés).	30 = 2 x 3 x 5 30, 42, 66, 70, 78, 102,105, 110 …	>>>
N. Semi premier N. Bipremier 2-presque premier Semiprime Biprime pq number	Deux facteurs (p et q). Soit quatre diviseurs (1, p, q, N). Note: p = q est admis.	6 = 2 x 3 10 = 2 x 5 14 = 2 x 7	>>>
Brillant Brilliant number	Semi premier avec facteurs de même longueur.	473 = 11 × 43 (ici, facteurs à deux chiffres)	>>>
2–presque premier k–almost prime	k facteurs qui peuvent être répétés.	6 = 2 x 3 2–P 8 = 2 x 2 x 2 3–P	>>>
N. Pronique	Deux facteurs consécutifs.	6 = 2 x 3	>>>

Facteurs – Contenus (puissances)
N. Simple Simple	Tous les facteurs sont non répétés. Nombre égal à son radical.	6 = 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 30, 33, 34 …	>>>
N. Zeisel Zeisel number	Nombre simple dont les facteurs sont en progression.	1729 = 7 x 13 x 19 Écart 6 entre facteurs	>>>
Puissance pure Perfect power	Premier à une puissance.	81 = 3⁴	>>>
Puissance n nth power	Puissance pure.	36 = 6^² = 2² x 3²	>>>
N. d'Achille Achille number	Puissance hors puissance pure.	72 = 2³ x 3² 108 = 2² x 3³	>>>
N. Plénipotent N. Puissant Powerful n. Squarefull n.	Tous les facteurs au carré ou plus. S'écrivent comme le produit d'un carré et d'un cube. Complètement riche.	36 = 2² x 3² 81 = 3⁴ 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108 …	>>>
N. presque puissant	Tous les exposants >1, sauf 1, lequel est petit par rapport à N.	540 = 2² x 3³ x 5	>>>
N. Riche (1)	Un facteur au moins est répété.	12 = 2² x 3 90 = 2 x 3² x 5	>>>
N. Riche (2)	La puissance moyenne du radical est égale au nombre.	72 = 2³ x 3² = 6^2,54	>>>
Carré Square	Tous les facteurs au carré .	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096 …	>>>
Avec facteur carré Squareful (non-squarefree)	Au moins un facteur en p².	4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44 …	>>>
Cubes Cube	Tous les facteurs au cube.	1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 …	>>>
Bicarré Biquadrate	Tous les facteurs à la puissance 4.	1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000 …	>>>
N. Sans facteur carré Squarefree	Aucun facteur en p². Exposants à 1, ou premiers, ou 1.	6 = 2 x 3 7 = 1 x 7 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23 …	>>>
N. Sans cube Cube free	Aucun facteur en p³. Exposants < 2.	14 = 2 x 7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28 …	>>>
Sans bicarré Biquadratefree	Aucun facteur en p⁴.	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 …	>>>

Facteurs – Valeurs
Sans facteur 0	Nombre dont les facteurs ne comportent aucun chiffre 0.	10 = 2 x 5	>>>
Homogène Homogeneous	Nombres ayant les mêmes facteurs premiers, même radical	6 = 2 x 3 36 = 2² x 3² 72 = 2³ x 3²	>>>
Hétérogène heterogeneous	Tous nombres non homogènes	6 = 2 x 3 et 40 = 2³ x 5	>>>
Pronique (oblong, hétéromécique) Pronic, oblong, rectangular, heteromecic	n = m (m+1) Produit de deux nombres consécutifs	0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182 …	>>>
Semipremier (bipremier, 2-presque premier, nombre pq) Semiprime (bi prime, 2-almost prime, pq number)	Produit de deux facteurs premiers distincts ou non	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39 …	>>>
N. à petits facteurs N. ronds de Hardy	Le plus grand facteur est très petit par rapport au nombre.	324 = 2² ٠ 3⁴ ( 3 << 324)	>>>
k-lisse (k-friable) k-smooth	Facteur le plus grand	2-lisse: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ... 3-lisse: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54 ...	>>>
2-rond 2-round (k-squareroot smooth)	Facteur le plus grand	1, 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, 30 …
k-dur k-rough	Facteur le plus grand	2-dur: 6, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 … 3-dur: 10, 14, 15, 20, 21, 22, 25, 26, 28, 30, 33, 34, 35 … 10-dur: 22, 26, 33, 34, 38, 39, 44, 46, 51, 52, 55, 57 … -dur: 6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51 …
N. de Stormer	Tel que le plus grand facteur de n² + 1 2n.	1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59 …
Paires de Ruth-Aaron	Deux nombres consécutifs dont la somme des facteurs est identique	714 = 2 x 3 x 7 x 17 S = 29 715 = 5 x 11 x 13 S = 29	>>>

Sigma / Radical² = Entier
Définition Nombres tels que la somme des diviseurs est divisibles par le carré du produit des facteurs Voir Programmation Voir OEIS A173615	1, 96, 864, 1080, 1782, 6144, 7128, 7776, 17280, 27000, 28512, 54432, 55296, 69984, 87480, 114048, 215622, 276480, 381024, 393216, 432000, 433026, 456192, 497664, 629856, 675000, 862488, 1382400, 1399680, 1677312, 1732104, 1824768, 2187000, 2195424, 2667168
Programme Maple	Commentaires Redémarrage propre et appel aux logiciels de théorie des nombres. Initialisation d'une liste (L) destinée à recevoir les nombres cherchés. Lancement d'une boucle d'analyse des nombres n de 1 à 10000. Calcul de la somme des diviseurs (sigma). La liste des facteurs est mise en F et multiplication de chacun des facteurs (mul) du premier à la quantité de facteurs (nops). Si la fraction S/R² est un entier (integer), alors mettre le nombre n dans la liste. Fermeture de condition (fi), de boucle (od) et impression de la liste trouvée. En bleu, le résultat de l'exécution du programme.

Voir Programmation – Index / Nombres Facteurs-Diviseurs

Rad(n+1) – Rad(n) = k

Définition

Couples de nombres successifs tels que la différence des radicaux soit égale à k.

Exemples

7, [9, 12]

9 = 3² = et 10 = 2 x 5 => 10 – 3 = 7

12 = 2x3 et 13 = 13 => 13 – 6 = 7

19, [98, 135, 11 325]

98 = 2x7² et 99 = 3²x11 => 33 – 14 = 19

135 = 3³x5 et 136 = 2³x17 => 34 – 15 = 19

11 375 = 5³x7x13 et 11 376 = 2⁴x3²x79 => 474 – 455 = 19

Quantité finie?

En 2003, J.M. De Koninck et F. Luca ont prouvé que ces couples sont en nombre fini pour tout k >1 impair, sous réserve que la conjecture abc soit prouvée.

Programme Maple

3, [4, 49]

7, [9, 12]

11, [20, 27, 288, 675, 71 199]

13, [18, 152, 3 024]

15, [16, 28]

17, [1 681, 59 535, 139 239, 505 925]

19, [98, 135, 11 375]

21, [25, 2 299, 18 490]

23, [75, 1 215, 1 647, 2 624]

25, [2 527]

27, [52, 39 325]

29, [171, 847, 1 616, 4 374]

31, [32, 36, 40, 45, 60, 1375]

35, [68]

37, [125]

39, [76, 775]

41, [50, 63 000]

43, [56, 84]

47, [92, 1 444, 250 624]

49, [54, 584, 21 375, 23 762, 71 874, 177 182 720]

51, [6 859]

53, [147, 315, 9 152, 52 479]

55, [512, 9 408, 12 167, 129 311]

57, [3 184]

59, [324, 4 239]

61, [90]

63, [64]

65, [387]

67, [72, 88, 132, 5 576 255]

69, [82 075, 656 914]

71, [140, 3 509]

73, [872, 1 274, 3 249]

75, [148, 105 412, 843 637]

77, [368]

79, [81, 104, 117, 156, 343, 375, 7 100, 47 375, 76 895]

83, [164, 275, 5 967, 33 124, 89 375, 7 870 625, 38 850 559]

85, [126, 1 016, 16 128, 471 968, 10 028 976]

87, [172]

89, [531, 117 36]

91, [96, 100, 1 050 624]

93, [832, 201 019, 1 608 574]

95, [6 831]

97, [3 807, 4 067, 12 716, 73 304]

99, [112, 1 975, 8 575]

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